代数的整数論の問題

1. 整数環を決める。

$-15$ は平方因子をもたない整数である。$-15=4\cdot (-4)+1$ より $-15\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ である。

実際、$\alpha =a+b\sqrt{-15}$（$a,b\in \mathbb{Q}$）が代数的整数である条件は、トレース $2a$ とノルム $a^2+15b^2$ がともに整数であることである。たとえば $\alpha =\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$ ではトレースは $1$、ノルムは $\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=4$ でともに整数なので、$\alpha$ は $x^2-x+4=0$ の根で代数的整数である。一般に $d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ のときの結果から
$${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right]$$
であり、整数基底として ${\omega }_1=1,{\omega }_2=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$ がとれる。

2. 埋め込みと行列式。

埋め込みは ${\sigma }_1(\sqrt{-15})=\sqrt{-15}$, ${\sigma }_2(\sqrt{-15})=-\sqrt{-15}$ の 2 つ（$\sqrt{-15}=\sqrt{15}i$）。よって
$$\det \left(\begin{array}{cc}1& \frac{1+\sqrt{-15}}{2}\\ 1& \frac{1-\sqrt{-15}}{2}\end{array}\right)=\frac{1-\sqrt{-15}}{2}-\frac{1+\sqrt{-15}}{2}=-\sqrt{-15}.$$

3. 2 乗する。
$$d_K=(-\sqrt{-15}{)}^2=(\sqrt{15}i{)}^2=-15.$$

これは「$d\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なら $d_K=d$」と一致する（$d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$ なら $d_K=4d$ になる）。

$-15\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なので ${\mathcal{O}}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right]$、整数基底は ${\omega }_1=1,{\omega }_2=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$。埋め込みは ${\sigma }_1=\mathrm{id}$、${\sigma }_2$ は複素共役（$\sqrt{-15}\mapsto -\sqrt{-15}$）。

$\det \left(\begin{array}{cc}1& \frac{1+\sqrt{-15}}{2}\\ 1& \frac{1-\sqrt{-15}}{2}\end{array}\right)=\frac{1-\sqrt{-15}}{2}-\frac{1+\sqrt{-15}}{2}=-\sqrt{-15}$。

その 2 乗は $-15$。したがって $d_K=-15$。

検算: 一般に $-15\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ で無平方なので $d_K=-15$。基底の取り方（符号・順序）によらず行列式の 2 乗は不変。