代数的整数論の問題

$K/\mathbb{Q}$ は $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$ のガロア拡大で、$2$ 次部分体は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ である。これらの判別式はそれぞれ $8,12,24$ なので、$K$ で分岐する素数は $2$ と $3$ だけである。$p=2,3$ は分岐するので完全分解しない。

$p\ne 2,3$ のとき、$p$ は $K$ で不分岐であり、分解群は位数 $f$ の巡回群（フロベニウス元で生成される）である。$p$ が $K$ で完全分解する $⟺$ フロベニウス元が自明 $⟺$ $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ と $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ の両方で分解する（$K$ はこの 2 つの合成体）。

$p\ne 2,3$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ で分解する条件はルジャンドル記号 $\left(\frac{d}{p}\right)=1$ である。
- 第 2 補充法則より $\left(\frac{2}{p}\right)=1⟺p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)$。
- 平方剰余の相互法則より $\left(\frac{3}{p}\right)=1⟺p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12)$。

法 $24$ で書くと、$p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)$ は $p\equiv 1,7,9,15,17,23(\mathrm{mod}24)$、$p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12)$ は $p\equiv 1,11,13,23(\mathrm{mod}24)$ である。共通部分は
$$p\equiv 1\text{または}23(\mathrm{mod}24).$$

$100$ 以下でこの条件をみたす数は
- $p\equiv 1$: $25,49,73,97$（素数は $73,97$）
- $p\equiv 23$: $23,47,71,95$（素数は $23,47,71$）

よって完全分解する素数は $23,47,71,73,97$ の $5$ 個である。

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ は $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大でガロア群は $(\mathbb{Z}/2{)}^2$。$2,3$ は $K$ で分岐するので完全分解しない。$p\ge 5$ は不分岐で、$p$ が完全分解することは、フロベニウスが自明、すなわち $\sqrt{2},\sqrt{3}$ がともに ${\mathbb{F}}_p$ に属することと同値、つまり $2$ と $3$ がともに $\mathrm{mod}p$ の平方剰余であることと同値である($\sqrt{6}$ は自動的に含まれる)。
$2$ が平方剰余 $⟺p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)$。$3$ が平方剰余 $⟺p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12)$。
$\mathrm{mod}24$ で考えると、$\pm 1(\mathrm{mod}8)$ は $\{1,7,9,15,17,23\}$、$\pm 1(\mathrm{mod}12)$ は $\{1,11,13,23\}$ で、共通部分は $\{1,23\}$。すなわち $p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}24)$。
$100$ 以下の素数で $p\equiv 1(\mathrm{mod}24)$: $73,97$($25,49$ は素数でない)。$p\equiv 23(\mathrm{mod}24)$: $23,47,71$($95$ は素数でない)。
合計 $5$ 個。
検算: $p=23$: $2\equiv 5^2=25$ なので平方剰余、$3\equiv 7^2=49\equiv 3$ で平方剰余。OK。