有限体上の既約多項式の個数

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $10$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $10$ 次の既約多項式の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $6$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の $6$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_5$ を元の個数が $5$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の $3$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。多項式
$$x^{729}-x\in {\mathbb{F}}_3[x]$$
を ${\mathbb{F}}_3[x]$ でモニックな既約多項式の積に分解したとき、現れる相異なるモニック既約多項式の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ を位数 $2^{12}$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_2$ はその素体として含まれる）。元 $\beta \in {\mathbb{F}}_{2^{12}}$ のうち、$\beta$ を ${\mathbb{F}}_2$ に添加した体 ${\mathbb{F}}_2(\beta )$ が ${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ 全体と一致するものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{49}$ を位数 $49$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_7$ はその素体として含まれる）。

${\mathbb{F}}_7[x]$ の $4$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$、${\mathbb{F}}_{49}[x]$ の $2$ 次のモニックな既約多項式の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3[x]$ のモニックな $6$ 次既約多項式のうち、定数項が $1$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とし、$K$ を元の個数が $2^{12}$ の有限体とする。$K$ の元 $\alpha$ のうち、${\mathbb{F}}_2$ 上の最小多項式の次数がちょうど $12$ であるもの（すなわち ${\mathbb{F}}_2(\alpha )=K$ となるもの）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ の $6$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$ とする。また、$6$ 次のモニックな既約多項式 $f(x)\in {\mathbb{F}}_2[x]$ のうち、$f$ の根（${\mathbb{F}}_2$ の代数閉包の中でとる）の乗法群における位数が $2^6-1=63$ であるもの（原始多項式）の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_4$ を位数 $4$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_2\subseteq {\mathbb{F}}_4$ をその素体とする。${\mathbb{F}}_4[x]$ のモニックな $3$ 次既約多項式のうち、係数がすべて ${\mathbb{F}}_2$ に属するわけではないもの（すなわち ${\mathbb{F}}_2[x]$ に属さないもの）の個数を求めよ。

$q$ を素数のべきとし、${\mathbb{F}}_q$ を $q$ 個の元からなる有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の多項式が既約であるとは、次数が $1$ 以上で、次数 $1$ 以上の 2 つの多項式の積に表せないことをいう。このとき、${\mathbb{F}}_q$ 上のモニックな $3$ 次既約多項式の個数は
$$\frac{q^3-q}{3}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q[x]$ において、次数 $1$ 以上のモニック多項式はモニックな既約多項式の積に（並べ方を除いて）ただ 1 通りに分解されること（素因数分解の一意性）は用いてよい。

$q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

このとき
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

${\mathbb{F}}_2$ を元の個数が $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次のモニック既約多項式（最高次の係数が $1$ である既約多項式）$f(x)$ のうち、原始多項式でないものの個数を求めよ。ただし、${\mathbb{F}}_2$ 上の $8$ 次既約多項式 $f(x)$ が原始多項式であるとは、$f(x)$ の根（元の個数が $2^8=256$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{256}$ の中の根）が乗法群 ${\mathbb{F}}_{256}^{\times }$ の生成元であることをいう。

${\mathbb{F}}_3$ を元の個数が $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の $4$ 次のモニック既約多項式 $f(x)$（最高次の係数が $1$ である既約多項式）のうち、次の条件を満たすものの個数を求めよ。

条件: $f(x)$ の根 $\alpha$（元の個数が $81$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{81}$ の元）の乗法群 ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ における位数が $80$ ではない。