代数学の問題

$4$ 次モニック既約多項式と根の対応. ${\mathbb{F}}_3$ 上の $4$ 次モニック既約多項式の根は ${\mathbb{F}}_{81}$ に属し、${\mathbb{F}}_3$ 上の次数がちょうど $4$ の元である。逆に次数 $4$ の元の最小多項式は $4$ 次モニック既約多項式であり、$1$ つの既約多項式は互いに共役な $4$ 個の相異なる根 $\alpha ,{\alpha }^3,{\alpha }^9,{\alpha }^{27}$ をもつ。共役な元どうしは乗法的位数が等しい（$x\mapsto x^3$ は ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ の自己同型）ので、条件は多項式ごとに定まる。

次数 $4$ の元の個数. ${\mathbb{F}}_{81}$ の真部分体は ${\mathbb{F}}_3$ と ${\mathbb{F}}_9$ で、${\mathbb{F}}_3\subset {\mathbb{F}}_9$。よって次数 $4$ の元は $81-9=72$ 個。これらはすべて $0$ でないので ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ の元であり、$4$ 次モニック既約多項式は全部で $72/4=18$ 個ある。

位数 $80$ の元. ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ は位数 $80$ の巡回群なので、位数がちょうど $80$ の元（原始元）は $\phi (80)=\phi (16)\phi (5)=8\cdot 4=32$ 個ある。原始元は ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ 全体を生成するので ${\mathbb{F}}_9$ には含まれず、すべて次数 $4$ の元である。したがって根が原始元である $4$ 次モニック既約多項式は $32/4=8$ 個。

答え. 条件を満たす多項式は $18-8=10$ 個。

（検算）次数 $4$ の元の位数は $80$ の約数のうち $8$（$=|{\mathbb{F}}_9^{\times }|$）を割り切らないもの、すなわち $5,10,16,20,40,80$ である。それぞれの個数 $\phi (d)$ は $4,4,8,8,16,32$ で合計 $72$ となり一致する。位数 $80$ 以外の元は $72-32=40$ 個で、$40/4=10$ 個の多項式に対応する。

${\mathbb{F}}_3$ 上の 4 次モニック既約多項式の個数は $(3^4-3^2)/4=72/4=18$。根 $\alpha$ が ${\mathbb{F}}_{81}^{\times }$ の生成元（位数 80）になるものは、生成元が $\phi (80)=32$ 個、各既約多項式は 4 個の共役根をもつので $32/4=8$ 個（4 次既約多項式の根は ${\mathbb{F}}_{81}$ で 3 の冪のみ小さい体に入らないが、位数 80 の元は ${\mathbb{F}}_9$ に入らないので必ず 4 次既約）。したがって条件を満たすのは $18-8=10$ 個。