代数学の問題

方法 1: 可約なものを数えて引く. ${\mathbb{F}}_5$ 上の $3$ 次モニック多項式 $x^3+a{x}^2+bx+c$ は、係数 $a,b,c$ を $5$ 通りずつ選べるので全部で $5^3=125$ 個ある。

$3$ 次モニック多項式が可約であるのは、次のどちらかの形に（モニックな因数で）分解するときであり、分解の形は一意である。

(1) $1$ 次式 $3$ 個の積 $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$: $\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ は ${\mathbb{F}}_5$ の $5$ 個の元から重複を許して $3$ 個選ぶ組合せなので、${}_5{\mathrm{H}}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ 個。

(2) $1$ 次式と $2$ 次既約式の積: まず $2$ 次のモニック既約多項式の個数を求める。$2$ 次モニック多項式は $25$ 個あり、そのうち可約なもの $(x-\alpha )(x-\beta )$ は重複組合せで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 個なので、既約なものは $25-15=10$ 個。$1$ 次式 $x-\alpha$ は $5$ 個あるので、この形は $5\times 10=50$ 個。

よって可約なものは $35+50=85$ 個で、既約なものは
$$125-85=40\text{ 個}.$$

方法 2: 有限体 ${\mathbb{F}}_{125}$ の元を数える（検算）. $3$ 次モニック既約多項式の根は ${\mathbb{F}}_{125}$ の元のうち ${\mathbb{F}}_5$ に属さないものであり、$1$ つの既約多項式はそのような根を相異なる $3$ 個もつ。${\mathbb{F}}_{125}$ の部分体は ${\mathbb{F}}_5$ と ${\mathbb{F}}_{125}$ 自身のみ（$3$ が素数のため）なので、該当する元は $125-5=120$ 個。したがって $3$ 次モニック既約多項式は $120/3=40$ 個で、方法 1 と一致する。

${\mathbb{F}}_5$ 上の 3 次モニック既約多項式の個数は $(5^3-5)/3=120/3=40$（${\mathbb{F}}_{125}\setminus {\mathbb{F}}_5$ の 120 個の元が 3 個ずつ共役）。