代数学の問題

元の個数が $3^6=729$ の有限体 ${\mathbb{F}}_{729}$ を考える。${\mathbb{F}}_{729}$ の部分体は、$6$ の正の約数 $d=1,2,3,6$ に対応する ${\mathbb{F}}_{3^d}$、すなわち ${\mathbb{F}}_3,{\mathbb{F}}_9,{\mathbb{F}}_{27},{\mathbb{F}}_{729}$ のちょうど $4$ つである。

${\mathbb{F}}_3$ 上の $6$ 次のモニック既約多項式 $f$ の根はすべて ${\mathbb{F}}_{729}$ に含まれ、その根 $\alpha$ は ${\mathbb{F}}_3(\alpha )={\mathbb{F}}_{729}$ を満たす（つまり真の部分体に含まれない）。逆に、真の部分体に含まれない $\alpha \in {\mathbb{F}}_{729}$ の ${\mathbb{F}}_3$ 上の最小多項式は $6$ 次のモニック既約多項式である。また、有限体は完全体なので既約多項式は重根をもたず、$6$ 次のモニック既約多項式はそれぞれ相異なる $6$ 個の根をもち、異なる既約多項式は共通の根をもたない。

よって、${\mathbb{F}}_{729}$ の元のうち真の部分体に含まれないものの個数を $N$ とすると、求める個数は $\frac{N}{6}$ である。

真の部分体のうち極大なものは ${\mathbb{F}}_9$ と ${\mathbb{F}}_{27}$ であり（${\mathbb{F}}_3$ は両方に含まれる）、${\mathbb{F}}_9\cap {\mathbb{F}}_{27}$ は $\gcd (2,3)=1$ より ${\mathbb{F}}_3$ である。したがって
$$|{\mathbb{F}}_9\cup {\mathbb{F}}_{27}|=9+27-3=33$$
であり、
$$N=729-33=696$$
となる。ゆえに求める個数は
$$\frac{696}{6}=116$$
である。

（確認）メビウスの反転公式による一般式 $\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{n/d}$ に $q=3,n=6$ を代入しても $\frac{1}{6}(3^6-3^3-3^2+3)=\frac{696}{6}=116$ となり一致する。

$q=3$ 上の $n$ 次モニック既約多項式の個数は $N_q(n)=\frac{1}{n}{\sum }_{d\mid n}\mu (d)q^{n/d}$ である（${\mathbb{F}}_{q^n}$ の元で ${\mathbb{F}}_q$ 上ちょうど次数 $n$ のものを $n$ 個ずつ組にして数える）。$n=6$ の約数は $1,2,3,6$ で $\mu (1)=1,\mu (2)=-1,\mu (3)=-1,\mu (6)=1$。よって $N_3(6)=\frac{1}{6}(3^6-3^3-3^2+3^1)=\frac{1}{6}(729-27-9+3)=\frac{696}{6}=116$。\n\n検算: ${\mathbb{F}}_{3^6}$ の元 729 個のうち、${\mathbb{F}}_{3^3}$ に属するもの 27 個、${\mathbb{F}}_{3^2}$ に属するもの 9 個、${\mathbb{F}}_3$ に属するもの 3 個。${\mathbb{F}}_{3^2}\cap {\mathbb{F}}_{3^3}={\mathbb{F}}_3$ なので、真部分体のいずれかに属する元は $27+9-3=33$ 個。次数がちょうど 6 の元は $729-33=696$ 個で、各既約多項式は 6 個の根を持つから $696/6=116$。