代数学の問題

元の個数が $2^{10}=1024$ の有限体を ${\mathbb{F}}_{2^{10}}$ とし、次の 2 段階で数える。

手順 1：${\mathbb{F}}_2$ 上の次数がちょうど $10$ の元を数える

$\alpha \in {\mathbb{F}}_{2^{10}}$ の ${\mathbb{F}}_2$ 上の次数 $d=[{\mathbb{F}}_2(\alpha ):{\mathbb{F}}_2]$ は $10$ の約数である。$d$ は $1,2,5,10$ のいずれかで、$d<10$ となるのは $\alpha$ が真部分体 ${\mathbb{F}}_2,{\mathbb{F}}_{2^2},{\mathbb{F}}_{2^5}$ のどれかに入るときである。

$10$ の真の約数のうち極大なものは $2$ と $5$ なので、${\mathbb{F}}_2\subset {\mathbb{F}}_{2^2}$ に注意すると、次数が $10$ 未満の元は
$${\mathbb{F}}_{2^2}\cup {\mathbb{F}}_{2^5}$$
にちょうど含まれる。${\mathbb{F}}_{2^2}\cap {\mathbb{F}}_{2^5}$ は ${\mathbb{F}}_{2^{\gcd (2,5)}}={\mathbb{F}}_2$ であるから、包除原理より
$$|{\mathbb{F}}_{2^2}\cup {\mathbb{F}}_{2^5}|=2^2+2^5-2^1=4+32-2=34.$$
よって次数がちょうど $10$ の元の個数は
$$1024-34=990.$$

（これは公式 ${\sum }_{d\mid 10}\mu (d)2^{10/d}=2^{10}-2^5-2^2+2^1=990$ と一致する。）

手順 2：$10$ で割る

${\mathbb{F}}_2$ 上の $10$ 次モニック既約多項式 $f(x)$ は ${\mathbb{F}}_{2^{10}}$ の中に相異なる $10$ 個の根をもち、その根はどれも次数がちょうど $10$ の元である。逆に、次数 $10$ の元はただ 1 つの $10$ 次モニック既約多項式（その最小多項式）の根である。したがって、次数 $10$ の元 $990$ 個は $10$ 個ずつ組になって既約多項式に対応するので、求める個数は
$$\frac{990}{10}=99.$$

F_2 上の n 次モニック既約多項式の個数は $N(n)=\frac{1}{n}{\sum }_{d\mid n}\mu (d)2^{n/d}$ で与えられる。$n=10$ の約数は $1,2,5,10$ で、メビウス関数は $\mu (1)=1,\mu (2)=-1,\mu (5)=-1,\mu (10)=1$ である。したがって $N(10)=\frac{1}{10}(2^{10}-2^5-2^2+2^1)=\frac{1}{10}(1024-32-4+2)=\frac{990}{10}=99$。検算：${\sum }_{d\mid 10}dN(d)=2^{10}$ を確かめる。$N(1)=2$、$N(2)=(4-2)/2=1$、$N(5)=(32-2)/5=6$。よって $1\cdot 2+2\cdot 1+5\cdot 6+10\cdot 99=2+2+30+990=1024=2^{10}$ となり一致する。