代数学の問題

8 次モニック既約多項式の個数

${\mathbb{F}}_{256}$ の元 $\alpha$ について、${\mathbb{F}}_2(\alpha )$ は ${\mathbb{F}}_{256}$ の部分体なので、元の個数は $2,4,16,256$ のいずれかである。$\alpha$ の ${\mathbb{F}}_2$ 上の最小多項式が $8$ 次になるのは ${\mathbb{F}}_2(\alpha )={\mathbb{F}}_{256}$ のとき、すなわち $\alpha$ が最大の真部分体 ${\mathbb{F}}_{16}$ に含まれないときである。そのような元は $256-16=240$ 個ある。

有限体は完全体なので、$8$ 次既約多項式は ${\mathbb{F}}_{256}$ 内に相異なる $8$ 個の根 $\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^4,\dots ,{\alpha }^{128}$ をもつ。逆に、上の $240$ 個の元はどれもちょうど $1$ つの $8$ 次モニック既約多項式の根である。したがって $8$ 次モニック既約多項式の個数は
$$\frac{240}{8}=30$$
である（メビウスの反転公式 $\frac{1}{8}{\sum }_{d\mid 8}\mu (8/d)2^d=\frac{1}{8}(2^8-2^4)=30$ とも一致する）。

原始多項式の個数

${\mathbb{F}}_{256}^{\times }$ は位数 $255$ の巡回群なので、生成元（位数 $255$ の元）は
$$\phi (255)=\phi (3)\phi (5)\phi (17)=2\cdot 4\cdot 16=128$$
個ある。位数 $255$ は $|{\mathbb{F}}_{16}^{\times }|=15$ を割らないので、これらの元は ${\mathbb{F}}_{16}$ に含まれず、最小多項式はすべて $8$ 次である。また、共役 ${\alpha }^{2^k}$ の位数は $\alpha$ の位数と等しい（$\gcd (2^k,255)=1$ のため）。よって、$1$ つの既約多項式の $8$ 個の根は、すべて生成元であるか、すべて生成元でないかのどちらかである。したがって原始多項式の個数は
$$\frac{128}{8}=16$$
である。

答え

原始多項式でない $8$ 次モニック既約多項式の個数は $30-16=14$ である。

（検算：位数が $255$ の約数であって、$15$ の約数でも $255$ でもないものは $17,51,85$ である。これらの位数をもつ元の個数は $\phi (17)+\phi (51)+\phi (85)=16+32+64=112$ で、$112/8=14$ となり一致する。）

8次モニック既約多項式の個数は $\frac{1}{8}{\sum }_{d|8}\mu (d)2^{8/d}=\frac{1}{8}(2^8-2^4)=\frac{240}{8}=30$。

原始多項式の個数は、${\mathbb{F}}_{256}^{\times }$ の生成元の個数 $\phi (255)$ を次数 8 で割ったものである。$255=3\cdot 5\cdot 17$ なので $\phi (255)=2\cdot 4\cdot 16=128$。生成元は ${\mathbb{F}}_{256}$ を生成する（位数 255 の元の最小多項式の次数は、2 の 255 を法とする位数で 8）ので、各原始多項式は 8 個の生成元を根にもつ。よって原始多項式は $128/8=16$ 個。

原始的でないものは $30-16=14$ 個。

検算：位数 $d$ の元の最小多項式の個数は $\phi (d)/8$。$d=255$: 16、$d=85$: $\phi =64$ なので 8、$d=51$: $\phi =32$ なので 4、$d=17$: $\phi =16$ なので 2。$d=15$ は次数 4、$d=5,3$ は次数 4,2 で 8 次にならない。合計 $16+8+4+2=30$ で一致。原始でないものは $8+4+2=14$。