体論・ガロア理論の問題

部分体の構造. ${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ の部分体は各正の約数 $d\mid 12$ に対してちょうど $1$ つずつ存在し、それは ${\mathbb{F}}_{2^d}=\{x\mid x^{2^d}=x\}$ である。また ${\mathbb{F}}_{2^d}\subseteq {\mathbb{F}}_{2^e}$ となるのは $d\mid e$ のときに限る。

条件の言い換え. ${\mathbb{F}}_2(\beta )$ は $\beta$ を含む最小の部分体なので、${\mathbb{F}}_2(\beta )\ne {\mathbb{F}}_{2^{12}}$ であることは、$\beta$ が真部分体のどれかに含まれることと同値である。$12$ の真の約数のうち極大なものは $6$ と $4$ なので（$1,2,3$ はいずれも $6$ または $4$ を割る）、真部分体はすべて ${\mathbb{F}}_{2^6}$ か ${\mathbb{F}}_{2^4}$ に含まれる。よって
$$\#\{\beta \mid {\mathbb{F}}_2(\beta )\ne {\mathbb{F}}_{2^{12}}\}=|{\mathbb{F}}_{2^6}\cup {\mathbb{F}}_{2^4}|.$$

包除原理. ${\mathbb{F}}_{2^6}\cap {\mathbb{F}}_{2^4}$ は両方に含まれる最大の部分体で、$\gcd (6,4)=2$ より ${\mathbb{F}}_{2^2}$ である。したがって
$$|{\mathbb{F}}_{2^6}\cup {\mathbb{F}}_{2^4}|=2^6+2^4-2^2=64+16-4=76.$$

ゆえに求める個数は
$$2^{12}-76=4096-76=4020.$$

（参考: これはメビウス関数を用いた ${\sum }_{d\mid 12}\mu (d)2^{12/d}=2^{12}-2^6-2^4+2^2$ に一致する。各元の ${\mathbb{F}}_2$ 上の最小多項式は $12$ 次の既約多項式で、$1$ つの既約多項式は $12$ 個の根をもつから、${\mathbb{F}}_2[x]$ の $12$ 次モニック既約多項式は $4020/12=335$ 個ある。）

${\mathbb{F}}_{2^{12}}$ の部分体は ${\mathbb{F}}_{2^d}$（$d\mid 12$）であり、${\mathbb{F}}_2(\beta )={\mathbb{F}}_{2^{12}}$ となるのは $\beta$ がどの真部分体にも含まれないとき、すなわち $\beta$ の ${\mathbb{F}}_2$ 上の次数がちょうど $12$ のときである。

真部分体のうち極大なものは $d=12/2=6$ と $d=12/3=4$ に対応する ${\mathbb{F}}_{2^6}$ と ${\mathbb{F}}_{2^4}$ である（他の真部分体 $d=1,2,3$ はこれらのどちらかに含まれる）。${\mathbb{F}}_{2^6}\cap {\mathbb{F}}_{2^4}={\mathbb{F}}_{2^{\gcd (6,4)}}={\mathbb{F}}_{2^2}$ なので、包除原理より
$|{\mathbb{F}}_{2^6}\cup {\mathbb{F}}_{2^4}|=64+16-4=76$。

よって求める個数は $4096-76=4020$。

検算（メビウス反転）: ${\sum }_{d\mid 12}\mu (12/d)2^d=2^{12}-2^6-2^4+0+2^2+0=4096-64-16+4=4020$。一致する。