体論・ガロア理論の問題

${\mathbb{F}}_7$ の代数閉包の中で考え、${\mathbb{F}}_{7^n}$ を位数 $7^n$ の部分体とする。${\mathbb{F}}_{7^m}\subseteq {\mathbb{F}}_{7^n}$ となるのは $m\mid n$ のときに限る。

$A$ の計算. $q$ 元体 ${\mathbb{F}}_q$ 上の $d$ 次のモニックな既約多項式の根は、${\mathbb{F}}_q$ 上の次数がちょうど $d$ の元 $d$ 個からなり、異なる既約多項式は共通の根をもたない（有限体は完全体なので既約多項式は重根をもたない）。よって
$$(\text{d 次のモニック既約多項式の個数})=\frac{1}{d}\#\{\alpha :[{\mathbb{F}}_q(\alpha ):{\mathbb{F}}_q]=d\}.$$
${\mathbb{F}}_{7^4}$ の部分体は ${\mathbb{F}}_7\subseteq {\mathbb{F}}_{49}\subseteq {\mathbb{F}}_{7^4}$ であり、${\mathbb{F}}_7$ 上の次数がちょうど $4$ の元は ${\mathbb{F}}_{7^4}\setminus {\mathbb{F}}_{49}$ の元である。その個数は
$$7^4-7^2=2401-49=2352.$$
したがって
$$A=\frac{2352}{4}=588.$$

$B$ の計算. ${\mathbb{F}}_{49}$ 上の次数がちょうど $2$ の元は、${\mathbb{F}}_{49^2}={\mathbb{F}}_{7^4}$ の元で ${\mathbb{F}}_{49}$ に属さないものである。その個数は同じく $2401-49=2352$ なので
$$B=\frac{2352}{2}=1176.$$

（確認）${\mathbb{F}}_7$ 上の 4 次既約多項式 $f$ の根を $\alpha ,{\alpha }^7,{\alpha }^{49},{\alpha }^{343}$ とすると、${\mathbb{F}}_{49}$ 上では $f=(x-\alpha )(x-{\alpha }^{49})\cdot (x-{\alpha }^7)(x-{\alpha }^{343})$ と 2 つの 2 次既約多項式に分解する。逆に ${\mathbb{F}}_{49}$ 上の 2 次既約多項式はちょうど 1 つの $f$ からこのように現れるので $B=2A$ であり、上の結果と一致する。

答え: $(A,B)=(588,1176)$

位数 $q$ の有限体上の $n$ 次モニック既約多項式の個数は $N_q(n)=\frac{1}{n}{\sum }_{d\mid n}\mu (d)q^{n/d}$。\n\n$A=N_7(4)=\frac{1}{4}(7^4-7^2)=\frac{2401-49}{4}=588$（$\mu (1)=1,\mu (2)=-1,\mu (4)=0$）。\n\n$B=N_{49}(2)=\frac{1}{2}(49^2-49)=\frac{2401-49}{2}=1176$。\n\n検算: ${\mathbb{F}}_{7^4}$ の元のうち ${\mathbb{F}}_{49}$ に属さないもの $2401-49=2352$ 個は、それぞれ 4 次既約多項式の根で、1 つの多項式が 4 根をもつので $2352/4=588$。また ${\mathbb{F}}_{49^2}$ の元のうち ${\mathbb{F}}_{49}$ に属さない $2401-49=2352$ 個は 2 次既約多項式の根で、1 つにつき 2 根なので $2352/2=1176$。一致する。