体論・ガロア理論の問題

$q=3$、$L={\mathbb{F}}_{3^6}={\mathbb{F}}_{729}$ とする。

根による言い換え. $f\in {\mathbb{F}}_3[x]$ がモニックな $6$ 次既約多項式であることと、$f$ が ${\mathbb{F}}_3$ 上の次数がちょうど $6$ の元 $\alpha \in L$（すなわち ${\mathbb{F}}_3(\alpha )=L$）の最小多項式であることは同値である。このとき $f$ の根は $\alpha ,{\alpha }^3,\dots ,{\alpha }^{3^5}$ のちょうど $6$ 個である。よって、$f$ と「次数 $6$ の元の $6$ 個組（共役類）」が $1$ 対 $1$ に対応する。

定数項とノルム. $f(x)={\prod }_{i=0}^5(x-{\alpha }^{3^i})$ の定数項は
$$(-1{)}^6\prod _{i=0}^5{\alpha }^{3^i}={\alpha }^{1+3+3^2+\cdots +3^5}={\alpha }^{\frac{3^6-1}{2}}={\alpha }^{364}$$
である。したがって、定数項が $1$ であることは ${\alpha }^{364}=1$ と同値である。また、${\alpha }^{364}=1$ という条件は $\alpha$ を共役 ${\alpha }^{3^i}$ に取り替えても変わらない。

${\alpha }^{364}=1$ を満たす元の個数. $L^{\times }$ は位数 $728$ の巡回群であり、$364\mid 728$ なので、${\alpha }^{364}=1$ を満たす $\alpha \in L$ はちょうど $364$ 個ある。

真部分体に含まれるものを除く. $L$ の真部分体のうち極大なものは ${\mathbb{F}}_{27}$ と ${\mathbb{F}}_9$ であり、${\mathbb{F}}_{27}\cap {\mathbb{F}}_9={\mathbb{F}}_3$ である。いずれの乗法群も巡回群なので、次のようになる。
- ${\mathbb{F}}_{27}^{\times }$（位数 $26$）: $\gcd (26,364)=26$ より $26$ 個すべてが ${\alpha }^{364}=1$ を満たす。
- ${\mathbb{F}}_9^{\times }$（位数 $8$）: $\gcd (8,364)=4$ より $4$ 個。
- ${\mathbb{F}}_3^{\times }$（位数 $2$）: $\gcd (2,364)=2$ より $2$ 個。

包除原理により、真部分体に含まれ ${\alpha }^{364}=1$ を満たす元の個数は $26+4-2=28$ である。

よって、次数がちょうど $6$ で ${\alpha }^{364}=1$ を満たす元は $364-28=336$ 個ある。これらは $6$ 個ずつの共役類に分かれるので、求める多項式の個数は
$$\frac{336}{6}=56$$
である。

（検算: モニックな $6$ 次既約多項式の総数は $\frac{1}{6}(3^6-3^3-3^2+3)=\frac{696}{6}=116$ である。定数項が $2$ のものは、${\alpha }^{364}=-1$ を満たす $364$ 個から ${\mathbb{F}}_9\setminus {\mathbb{F}}_3$ の $4$ 個を除いて $\frac{360}{6}=60$ 個となる。$56+60=116$ で一致する。）

${\mathbb{F}}_3$ 上のモニックな 6 次既約多項式の個数は、メビウス関数を使って $\frac{1}{6}(3^6-3^3-3^2+3)=\frac{696}{6}=116$ 個である。

このような多項式 $f$ の根 $\alpha \in {\mathbb{F}}_{729}$ は 6 次の元で、共役は $\alpha ,{\alpha }^3,\dots ,{\alpha }^{3^5}$ である。次数 6 は偶数なので、定数項は $f(0)=\prod (-{\alpha }^{3^i})=N(\alpha )={\alpha }^{(3^6-1)/2}={\alpha }^{364}$ となる。

したがって定数項が $1$ であることは、$\alpha$ が ${\mathbb{F}}_{729}^{\ast }$ の平方元であることと同値である。

${\mathbb{F}}_{729}^{\ast }$ は位数 $728$ の巡回群であり、平方元は $364$ 個ある。このうち 6 次でない元（部分体 ${\mathbb{F}}_9$, ${\mathbb{F}}_{27}$ の元）を除く。
- ${\mathbb{F}}_{27}^{\ast }$ の位数は $26$ で、$26\mid 364$ なので全部 $26$ 個が平方元である。
- ${\mathbb{F}}_9^{\ast }$ の位数は $8$ で、$8\nmid 364$ である。平方元になるのは位数が $364$ を割る元、すなわち位数が $4$ の約数の元で、$4$ 個ある。
- 共通部分は ${\mathbb{F}}_3^{\ast }$ の $2$ 個である。

部分体に含まれる平方元は $26+4-2=28$ 個なので、6 次の平方元は $364-28=336$ 個である。1 つの既約多項式が 6 個の根をもつので、$336/6=56$ 個となる。

検算: 平方元でない 6 次の元は $696-336=360$ 個で、$360/6=60$ 個の多項式に対応する。$56+60=116$ となり、全体の個数と一致する。