有限体のガロア群とフロベニウス

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ のモニックな $4$ 次既約多項式 $f(x)$ で、$f$ の根の $1$ つ $\alpha \in {\mathbb{F}}_{16}$ が乗法群 ${\mathbb{F}}_{16}^{\times }$ の生成元になるもの（原始多項式）の個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。多項式
$$x^{729}-x\in {\mathbb{F}}_3[x]$$
を ${\mathbb{F}}_3[x]$ でモニックな既約多項式の積に分解したとき、現れる相異なるモニック既約多項式の個数を求めよ。

$p$ を素数、$n$ を正の整数とし、$q=p^n$ とする。${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ をその素体とする。

$p$ が $n$ を割り切らないとき、${\mathbb{F}}_p$ の $0$ でない任意の元 $a$ について、多項式 $x^p-x-a$ は ${\mathbb{F}}_q$ に根をもたないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: ${\mathbb{F}}_q$ は素体 ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を部分体として含む。すべての $b\in {\mathbb{F}}_q$ について $b^q=b$ である。すべての $c\in {\mathbb{F}}_p$ について $c^p=c$ である。${\mathbb{F}}_q$ の元 $x,y$ について $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ である。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3[x]$ のモニックな $6$ 次既約多項式のうち、定数項が $1$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2[x]$ の $6$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$ とする。また、$6$ 次のモニックな既約多項式 $f(x)\in {\mathbb{F}}_2[x]$ のうち、$f$ の根（${\mathbb{F}}_2$ の代数閉包の中でとる）の乗法群における位数が $2^6-1=63$ であるもの（原始多項式）の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

$q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

このとき
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

${\mathbb{F}}_2$ を位数 $2$ の有限体とし、$t$ を ${\mathbb{F}}_2$ 上の不定元として有理関数体 $K={\mathbb{F}}_2(t)$ を考える。多項式
$$f(x)=(x^4+x^2+t)(x^3+t)\in K[x]$$
の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする（$K$ の代数閉包の中で考える）。拡大次数 $[L:K]$ と、$L$ の $K$ 上の自己同型群 $\mathrm{Aut}(L/K)$ の位数を、この順に組で求めよ。