体論・ガロア理論の問題

$q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

このとき
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_{49}$ を位数 $49$ の有限体とする（${\mathbb{F}}_7$ はその素体として含まれる）。

${\mathbb{F}}_7[x]$ の $4$ 次のモニックな既約多項式の個数を $A$、${\mathbb{F}}_{49}[x]$ の $2$ 次のモニックな既約多項式の個数を $B$ とする。組 $(A,B)$ を求めよ。

$\zeta =e^{2\pi i/60}\in \mathbb{C}$ とし、$L=\mathbb{Q}(\zeta )$ とおく。$d$ は $1$ でない平方因子をもたない整数とする。すなわち、$d\ne 1$ であり、どの素数 $p$ についても $p^2\nmid d$ である（$d$ は負でもよい）。$d<0$ のときは $\sqrt{d}=i\sqrt{-d}$ と定める。$\sqrt{d}\in L$ となるような $d$ をすべて求め、その集合を答えよ。

$p$ を素数とし、$L/K$ を拡大次数 $[L:K]=p^2$ の有限次ガロア拡大とする。$K⊊M⊊L$ をみたす中間体 $M$ の個数を $N$ とする。

このとき、$N=1$ または $N=p+1$ であることを証明せよ。

ただし、ガロア理論の基本定理と、位数 $p^2$ の群は巡回群 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ のいずれかに同型であることは用いてよい。

$p$ を奇素数とし、$\zeta =e^{2\pi i/p}\in \mathbb{C}$、$K=\mathbb{Q}(\zeta )$ とする。$\alpha =\sqrt[p]{2}$、$\beta =\sqrt[p]{3}$ をそれぞれ $2,3$ の正の実数の $p$ 乗根とする。

このとき、$\mathbb{C}$ の部分体として $K(\alpha )\ne K(\beta )$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: $[K:\mathbb{Q}]=p-1$ であること（円分多項式の既約性）、アイゼンシュタインの既約判定法、拡大次数の連鎖律、ガロア理論の基本定理（有限次ガロア拡大 $L/F$ において $\mathrm{Gal}(L/F)$ の固定体は $F$ であること等）、標数 $0$ の体上の多項式の最小分解体はガロア拡大であること。