体論・ガロア理論の問題

$q$ を素数べき、$\ell$ を素数とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_q[x]$ の次数 ${\ell }^2$ のモニックな既約多項式の個数を $N$ とする。

このとき
$$N=\frac{q^{{\ell }^2}-q^{\ell }}{{\ell }^2}$$
であることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{F}}_q$ の代数閉包 $\Omega$ を 1 つ固定し、正の整数 $n$ に対して $E_n:=\{\alpha \in \Omega \mid {\alpha }^{q^n}=\alpha \}$ とおくとき、$E_n$ は ${\mathbb{F}}_q$ を含む $\Omega$ の部分体で、ちょうど $q^n$ 個の元からなり、$[E_n:{\mathbb{F}}_q]=n$ であることは用いてよい。また、拡大次数の連鎖律、および元の個数が $Q$ の有限体の任意の元 $\beta$ が ${\beta }^Q=\beta$ をみたすことも用いてよい。

$p$ を奇素数とし、$\zeta =e^{2\pi i/p}\in \mathbb{C}$、$K=\mathbb{Q}(\zeta )$ とする。$\alpha =\sqrt[p]{2}$、$\beta =\sqrt[p]{3}$ をそれぞれ $2,3$ の正の実数の $p$ 乗根とする。

このとき、$\mathbb{C}$ の部分体として $K(\alpha )\ne K(\beta )$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: $[K:\mathbb{Q}]=p-1$ であること（円分多項式の既約性）、アイゼンシュタインの既約判定法、拡大次数の連鎖律、ガロア理論の基本定理（有限次ガロア拡大 $L/F$ において $\mathrm{Gal}(L/F)$ の固定体は $F$ であること等）、標数 $0$ の体上の多項式の最小分解体はガロア拡大であること。

$K$ を体（標数は任意）、$p$ を素数とし、$a\in K$ は $K$ のどの元の $p$ 乗にもならない（すなわち $c^p=a$ となる $c\in K$ が存在しない）とする。$L$ を $K$ の有限次拡大体で、拡大次数 $[L:K]$ が $p$ で割り切れないものとする。$L$ の代数閉包 $\Omega$ をとり、$\alpha \in \Omega$ を ${\alpha }^p=a$ をみたす元とする。

このとき、$[L(\alpha ):L]=p$ であること、すなわち多項式 $x^p-a$ が $L[x]$ で既約であることを証明せよ。

ただし、拡大次数の連鎖律（$[M:F]=[M:E][E:F]$）、代数的な元 $\beta$ について $[F(\beta ):F]$ が $\beta$ の $F$ 上の最小多項式の次数に等しいこと、代数閉体上の多項式環における一意分解は用いてよい。

$p$ を素数、$n$ を正の整数とし、$q=p^n$ とする。${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とし、${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ をその素体とする。

$p$ が $n$ を割り切らないとき、${\mathbb{F}}_p$ の $0$ でない任意の元 $a$ について、多項式 $x^p-x-a$ は ${\mathbb{F}}_q$ に根をもたないことを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい: ${\mathbb{F}}_q$ は素体 ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を部分体として含む。すべての $b\in {\mathbb{F}}_q$ について $b^q=b$ である。すべての $c\in {\mathbb{F}}_p$ について $c^p=c$ である。${\mathbb{F}}_q$ の元 $x,y$ について $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ である。

$L$ を多項式 $(x^3-3)(x^2-2)$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体（$\mathbb{C}$ の部分体）とする。$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L$ を満たす中間体 $K$ の個数を求めよ。ただし $K=\mathbb{Q}$ と $K=L$ も数に含める。