体論・ガロア理論の問題

準備（分解の様子） 標数 $2$ なので、$u=\sqrt{t}$（$u^2=t$）とおくと
$$x^4+x^2+t=(x^2+x+u{)}^2.$$
$x^2+x+u=0$ の根の一つを $\beta$ とすると、もう一つは $\beta +1$ で、$x^4+x^2+t$ の根は $\beta ,\beta +1$（各重複度 $2$）である。また ${\beta }^2+\beta =u$ より $u\in K(\beta )$ である。

一方、$x^3+t$ の根の一つを $w$（$w^3=t$）とする。標数 $2$ では $3$ と $2$ は互いに素なので $x^3+t$ は分離的である。$1$ の原始 $3$ 乗根 $\omega$（${\omega }^2+\omega +1=0$、${\mathbb{F}}_2(\omega )={\mathbb{F}}_4$）を用いると、根は $w,\omega w,{\omega }^{2}w$ である。よって
$$L=K(\beta ,w,\omega ).$$

$L$ の記述 $v=u/w$ とおくと $v^3=u^3/w^3=u^3/u^2=u$ である。逆に $w=u/v=v^2$、$u=v^3$、$t=v^6$。したがって
$$L={\mathbb{F}}_4(v,\beta ),{\beta }^2+\beta =v^3,t=v^6.$$

$[L:K]$ の計算 $v$ は ${\mathbb{F}}_2$ 上超越的であり、$t=v^6$ だから $[{\mathbb{F}}_2(v):{\mathbb{F}}_2(t)]=6$（$x^6-t$ は $t$ についてアイゼンシュタイン、あるいは有理関数の次数より）。${\mathbb{F}}_2(v)$ は ${\mathbb{F}}_4$ を含まないので $[{\mathbb{F}}_4(v):{\mathbb{F}}_2(v)]=2$。

次に $x^2+x+v^3$ が ${\mathbb{F}}_4(v)$ 上既約であることを示す。$a\in {\mathbb{F}}_4(v)$ で $a^2+a=v^3$ となるものがあったとする。無限遠点での付値 $v_{\infty }$ を考えると、$v_{\infty }(a)=-k<0$ なら $v_{\infty }(a^2+a)=-2k$ は偶数、$v_{\infty }(a)\ge 0$ なら $v_{\infty }(a^2+a)\ge 0$ となり、いずれも $v_{\infty }(v^3)=-3$ に反する。よって既約で、$[L:{\mathbb{F}}_4(v)]=2$。以上より
$$[L:K]=2\cdot 2\cdot 6=24.$$

分離閉包と $\mathrm{Aut}(L/K)$ $\gamma ={\beta }^2$ とおくと ${\gamma }^2+\gamma =({\beta }^2+\beta {)}^2=u^2=t$ で、$\gamma$ は分離多項式 $x^2+x+t$ の根である。$K_s=K(\omega ,w,\gamma )={\mathbb{F}}_4(w,\gamma )$ は分離多項式 $(x^3+t)(x^2+x+t)$ の分解体なので $K$ 上ガロアである。$[{\mathbb{F}}_4(w):K]=2\cdot 3=6$、また ${\gamma }^2+\gamma =w^3$ は上と同じ付値の議論で ${\mathbb{F}}_4(w)$ 上既約なので $[K_s:K]=12$。

さらに $\beta =v^3+{\beta }^2=v^3+\gamma$ なので $L=K_s(v)$、かつ $v^2=w\in K_s$。$v\notin K_s$ である（もし $v\in K_s$ なら $u=v^3\in K_s$ だが、$u$ は $K$ 上純非分離的で $u\notin K$ なので、$K$ 上分離的な元にはなりえない）。よって $[L:K_s]=2$ で、$L/K_s$ は純非分離拡大。したがって $K_s$ は $L/K$ の分離閉包で、分離次数は $[L:K{]}_s=12$、非分離次数は $2$。

$L$ は分解体なので $L/K$ は正規拡大である。正規拡大では $\mathrm{Aut}(L/K)$ の各元は $K_s$ への制限で決まり（純非分離部分の上では自己同型は一意）、$\mathrm{Aut}(L/K)\cong \mathrm{Gal}(K_s/K)$。よって $|\mathrm{Aut}(L/K)|=[L:K{]}_s=12$。

答え：$(24,12)$

$x^4+x^2+t=(x^2+x{)}^2+t$ である。標数 2 で $s=\sqrt{t}$ とおくと、根は $x^2+x=s$ の解 $\alpha ,\alpha +1$（各重複度 2）である。$x^3+t$ の根は $\beta ,\omega \beta ,{\omega }^2\beta$（${\beta }^3=t$、$\omega \in {\mathbb{F}}_4$ は 1 の原始 3 乗根）である。

したがって $L=K(\omega ,\beta ,\alpha )$ であり、$s$ も $L$ に含まれる。

1. $x^3+t$ は $K$ 上既約で分離的なので、$K(\omega ,\beta )={\mathbb{F}}_4(\beta )$ は $K$ 上 6 次の Galois 拡大（群は $S_3$）である。
2. $s^2=t={\beta }^3$ より $s=\beta \sqrt{\beta }$ である。${\beta }^3$ は ${\mathbb{F}}_4(\beta )$ の平方元でないので、$\gamma =\sqrt{\beta }$ を加えると 2 次の純非分離拡大になる。このとき ${\mathbb{F}}_4(\beta ,s)={\mathbb{F}}_4(\gamma )$ で、$t={\gamma }^6$ かつ $s={\gamma }^3$ である。次数は $[{\mathbb{F}}_4(\gamma ):K]=2\cdot 6=12$ となる。
3. ${\alpha }^2+\alpha ={\gamma }^3$ は ${\mathbb{F}}_4(\gamma )$ 上の Artin–Schreier 方程式である。${\gamma }^3$ は無限遠での極の位数が 3（奇数）なので、$z^2+z$ の形にならず、この方程式は既約である。よって $\alpha$ を加えると 2 次拡大になる。

以上より $[L:K]=12\cdot 2=24$ である。

自己同型群の位数は、$L/K$ が正規拡大であることから分離次数 $[L:K{]}_s$ に等しい。${\mathbb{F}}_4(\beta )/K$ の 6 個の自己同型はすべて $L$ に延長できる。$L/{\mathbb{F}}_4(\beta )$ については、$\gamma$ は固定され（${\gamma }^2=\beta$ の根は 1 つ）、$\alpha \mapsto \alpha$ または $\alpha +1$ の 2 通りがある。よって $|\mathrm{Aut}(L/K)|=6\cdot 2=12$ である。

検算：非分離次数は $24/12=2$ で、$s=\sqrt{t}$ に由来する。これは次数の積と整合する。