体論・ガロア理論の問題

手順 1: 次数とガロア群を求める。 円分多項式 ${\Phi }_{21}$ は $\mathbb{Q}$ 上既約なので
$$[L:\mathbb{Q}]=\phi (21)=\phi (3)\phi (7)=2\cdot 6=12$$
であり、${\sigma }_a:\zeta \mapsto {\zeta }^a$ により
$$G=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}{)}^{\times }.$$

手順 2: ガロア群を巡回群の直積に分ける。 中国剰余定理より
$$(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/6\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3.$$
（$p$ が素数のとき $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 $p-1$ の巡回群。また $\mathbb{Z}/6\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3$。）

手順 3: ガロア対応で言い換える。 $L/\mathbb{Q}$ はガロア拡大なので、ガロアの基本定理により $[K:\mathbb{Q}]=2$ となる部分体 $K$ は、$[G:H]=2$、すなわち位数 $6$ の部分群 $H$ と 1 対 1 に対応する。

手順 4: 位数 $6$ の部分群を数える。 $G=\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3$ で、位数 $3$ の元は $\mathbb{Z}/3$ の部分（$\{0\}\times \{0\}\times \mathbb{Z}/3$）にしかないので、位数 $6$ の部分群 $H$ はこの位数 $3$ の部分群を必ず含み、
$$H=A\times \mathbb{Z}/3(A\text{は}\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\text{の位数}2\text{の部分群})$$
の形になる。$\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$ の位数 $2$ の部分群は、位数 $2$ の元 $(1,0),(0,1),(1,1)$ が 1 つずつ生成する $3$ 個である。よって位数 $6$ の部分群は $3$ 個。

手順 5: 結論。 $[K:\mathbb{Q}]=2$ となる部分体は $3$ 個である。

（具体的には $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\subset \mathbb{Q}({\zeta }_3)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\subset \mathbb{Q}({\zeta }_7)$、およびその「積」の $\mathbb{Q}(\sqrt{21})$ の 3 つである。）

答えは $3$。

$L=\mathbb{Q}({\zeta }_{21})$ は $\mathbb{Q}$ のアーベル拡大で、ガロア群は $G=(\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/6\cong (\mathbb{Z}/2{)}^2\times \mathbb{Z}/3$、位数 $\phi (21)=12$。ガロア対応により、$[K:\mathbb{Q}]=2$ の部分体 $K$ は指数 $2$ の部分群（位数 $6$）と 1 対 1 に対応する。指数 2 の部分群は $G$ から $\mathbb{Z}/2$ への全射準同型の核であり、アーベル群なので $\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/2)\cong (\mathbb{Z}/2{)}^2$ の非自明な元の個数 $2^2-1=3$ に等しい（$\mathbb{Z}/3$ 部分は $\mathbb{Z}/2$ への準同型に寄与しない）。具体的には $\mathbb{Q}(\sqrt{-3}),\mathbb{Q}(\sqrt{-7}),\mathbb{Q}(\sqrt{21})$ の 3 つ（$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\subset \mathbb{Q}({\zeta }_3)$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\subset \mathbb{Q}({\zeta }_7)$, $\sqrt{21}=\sqrt{-3}\sqrt{-7}$ で、これらは互いに異なる）。検算: $L$ に含まれる 2 次体は判別式が $-3,-7,21$ の 3 つで、これで全部。