代数学の問題

$K={\mathbb{F}}_{2^{12}}$ の部分体は、$12$ の正の約数 $d$ ごとにただ 1 つ存在する ${\mathbb{F}}_{2^d}$（元の個数 $2^d$）であり、${\mathbb{F}}_{2^d}\subset {\mathbb{F}}_{2^e}$ となるのは $d\mid e$ のときに限る。

$\alpha \in K$ の最小多項式の次数は $[{\mathbb{F}}_2(\alpha ):{\mathbb{F}}_2]$ に等しく、${\mathbb{F}}_2(\alpha )$ は $\alpha$ を含む最小の部分体である。よって次数が $12$ であることは、$\alpha$ がどの真部分体にも含まれないことと同値である。

$12$ の約数のうち $12$ 以外で極大なものは $6$ と $4$ であり、真部分体はすべて ${\mathbb{F}}_{2^6}$ または ${\mathbb{F}}_{2^4}$ に含まれる（${\mathbb{F}}_{2^1},{\mathbb{F}}_{2^2},{\mathbb{F}}_{2^3}$ はどちらかに含まれる）。したがって数えるべき元の個数は
$$|K|-|{\mathbb{F}}_{2^6}\cup {\mathbb{F}}_{2^4}|$$
である。${\mathbb{F}}_{2^6}\cap {\mathbb{F}}_{2^4}={\mathbb{F}}_{2^{\gcd (6,4)}}={\mathbb{F}}_{2^2}$ なので、包除原理より
$$|{\mathbb{F}}_{2^6}\cup {\mathbb{F}}_{2^4}|=2^6+2^4-2^2=64+16-4=76.$$
よって求める個数は
$$2^{12}-76=4096-76=4020.$$

（確認）メビウスの反転公式 ${\sum }_{d\mid 12}\mu (12/d)2^d=2^{12}-2^6-2^4+2^2=4020$ とも一致する。なお $4020=12\times 335$ であり、${\mathbb{F}}_2$ 上の $12$ 次モニック既約多項式が $335$ 個あることに対応している。

${\mathbb{F}}_2(\alpha )=K$ となる $\alpha$ は、$\alpha$ がどの真部分体 ${\mathbb{F}}_{2^d}$（$d\mid 12$, $d<12$）にも入らない元。部分体 ${\mathbb{F}}_{2^6}$ と ${\mathbb{F}}_{2^4}$ が極大で、${\mathbb{F}}_{2^6}\cap {\mathbb{F}}_{2^4}={\mathbb{F}}_{2^2}$。

包除原理（メビウス関数）より個数は ${\sum }_{d\mid 12}\mu (12/d)2^d=2^{12}-2^6-2^4+2^2=4096-64-16+4=4020$。

検算: 位数 $2^d$ の体の元で生成するものの個数を $N_d$ とすると ${\sum }_{d\mid 12}{N}_d=2^{12}$。$N_1=2,N_2=2,N_3=6,N_4=12,N_6=54$、$N_{12}=4096-(2+2+6+12+54)=4020$。