代数的整数論の問題

1. ガロア群と分岐. $[L:\mathbb{Q}]=8$ であり、$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は位数 $8$ の二面体群 $D_4$ である。生成元として
$$\sigma :\alpha \mapsto i\alpha ,i\mapsto i,\tau :\alpha \mapsto \alpha ,i\mapsto -i$$
をとると、$\sigma$ は位数 $4$、$⟨\sigma ⟩=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}(i))$、$⟨\tau ⟩=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}(\alpha ))$ である。また $⟨\sigma ⟩$ の外の $4$ 元 $\tau ,\sigma \tau ,{\sigma }^2\tau ,{\sigma }^3\tau$ はすべて位数 $2$ である。

$\mathrm{disc}(x^4-2)=256\cdot (-2{)}^3=-2^{11}$、$\mathbb{Q}(i)$ の判別式は $-4$ である。$L$ は $\mathbb{Q}(\alpha )$ と $\mathbb{Q}(i)$ の合成体なので、$L$ で分岐する素数は $2$ だけである。よって奇素数 $p$ は不分岐で、$e=1$、$fg=8$ が成り立つ。さらに $f$ は $p$ のフロベニウス元 ${\mathrm{Frob}}_p$（共役類）の位数に等しい。

2. $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ の場合. $p$ は $\mathbb{Q}(i)$ で惰性するので、${\mathrm{Frob}}_p$ の $\mathbb{Q}(i)$ への制限は非自明である。したがって ${\mathrm{Frob}}_p\notin ⟨\sigma ⟩$ となり、その位数は $2$ である。ゆえに $f=2$、$g_p=4$。

3. $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ の場合. $p$ は $\mathbb{Q}(i)$ で分解するので、${\mathrm{Frob}}_p={\sigma }^k$ と書ける。
- ${\sigma }^k({\alpha }^2)=(-1{)}^k{\alpha }^2$ であり、${\alpha }^2=\sqrt{2}$ である。よって $k$ が偶数 $⟺$ ${\mathrm{Frob}}_p$ が $\sqrt{2}$ を固定する $⟺$ $p$ が $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ で分解する $⟺$ $\left(\frac{2}{p}\right)=1$ $⟺$ $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$。
- $k\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ $⟺$ $p$ が $L$ で完全分解する $⟺$ $p$ が $\mathbb{Q}(\alpha )$ で完全分解する（$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ より $p$ は $\mathbb{Q}(i)$ で既に分解しているから）。$p$ は奇数なので、$\mathrm{disc}\mathbb{Z}[\alpha ]=-2^{11}$ より $p\nmid [{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}(\alpha )}:\mathbb{Z}[\alpha ]]$ であり、Dedekind–Kummer の定理が使える。よってこれは「$x^4-2$ が ${\mathbb{F}}_p$ 上で $1$ 次式の積に分解する」と同値である。${\mathbb{F}}_p$ は $1$ の $4$ 乗根を含むので、さらに「$2$ が $\mathrm{mod}p$ で $4$ 乗剰余」と同値になる。これは $2^{(p-1)/4}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ と同値である。

まとめると、次のようになる。
- $p\equiv 5(\mathrm{mod}8)$：$k$ は奇数で位数 $4$、$f=4$、$g_p=2$。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ かつ $2^{(p-1)/4}\equiv -1$：位数 $2$、$g_p=4$。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ かつ $2^{(p-1)/4}\equiv 1$：完全分解、$g_p=8$。

4. 数え上げ. $3\le p<100$ の素数は $24$ 個ある。
- $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$：$3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83$ の $13$ 個。寄与は $13\times 4=52$。
- $p\equiv 5(\mathrm{mod}8)$：$5,13,29,37,53,61$ の $6$ 個。寄与は $6\times 2=12$。
- $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$：$17,41,73,89,97$ の $5$ 個。それぞれ判定する。
- $p=17$：$2^4=16\equiv -1$
- $p=41$：$2^{10}=1024\equiv -1$
- $p=97$：$2^7\equiv 31$、$2^{14}\equiv -9$、$2^{21}\equiv 12$、$2^{24}\equiv 96\equiv -1$
- $p=73$：$2^9=512\equiv 1$ より $2^{18}\equiv 1$
- $p=89$：$2^{11}=2048\equiv 1$ より $2^{22}\equiv 1$

したがって $17,41,97$ は $g_p=4$、$73,89$ は $g_p=8$ である。寄与は $3\times 4+2\times 8=28$。

以上より
$$S=52+12+28=92.$$

$L/\mathbb{Q}$ は次数 8 のガロア拡大で、ガロア群は $D_4$ である。$L$ で分岐する素数は 2 だけなので、$3\le p<100$ の素数 $p$ はすべて不分岐である。このとき $g_p=8/f$ となる。ここで $f$ は $p$ のフロベニウス元の位数である。

$\sigma :\alpha \mapsto i\alpha ,i\mapsto i$（位数 4）とおくと、$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})=D_4$ で、$⟨\sigma ⟩=\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}(i))$ である。

1. $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき、フロベニウス元は $i$ を動かすので $⟨\sigma ⟩$ の外にある。$⟨\sigma ⟩$ の外の元は 4 個の鏡映で、すべて位数 2 である。よって $f=2$、$g_p=4$。
該当する素数は 3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83 の 13 個で、合計は $13\times 4=52$。

2. $p\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ のとき、$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なのでフロベニウス元は $⟨\sigma ⟩$ に入る。2 が平方非剰余なので ${\sigma }^2$ は $\sqrt{2}$ を固定せず、位数 4 となる。よって $g_p=2$。
該当する素数は 5,13,29,37,53,61 の 6 個で、合計は $6\times 2=12$。

3. $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ のとき、2 は平方剰余である。2 が 4 乗剰余ならフロベニウス元は単位元で $g_p=8$、そうでなければ位数 2 で $g_p=4$。
$p=17,41,73,89,97$ について調べる。
- 17：4 乗剰余は $\{1,4,13,16\}$ で 2 を含まないので、$g=4$。
- 41：$p=x^2+64y^2$ と書けない（2 は 4 乗剰余でない）ので、$g=4$。
- 73：$2^{18}\equiv 1$ より 4 乗剰余なので、$g=8$。
- 89：$2^{22}\equiv 1$ より 4 乗剰余なので、$g=8$。
- 97：$2^{24}\equiv -1$ より 4 乗剰余でないので、$g=4$。

合計は $4+4+8+8+4=28$。

以上より $S=52+12+28=92$。素数の個数は $13+6+5=24$ で、3 以上 100 未満の素数 24 個と一致する。