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代数的整数論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学代数的整数論

$f (x) = x^{2} + 1 \in Z_{5} [x]$ とする。 $5$ 進整数環 $Z_{5}$ における $f$ の根 $α$ のうち、 $α \equiv 2 (mod 5)$ をみたすものがただ 1 つ存在する。 $α \equiv n (mod 125)$ をみたす整数 $n$ （ $0 \leq n \leq 124$ ）を求めよ。

この問題で使うもの

ヘンゼルの補題と p 進数での根（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「ヘンゼルの補題と p 進数での根」を使う。まず $f (2) \equiv 0$ と $f^{'} (2) \neq \equiv 0 (mod 5)$ を確かめ、法 $5 \to 25 \to 125$ と順に根を持ち上げる。

ヒント 2

法 $25$ の根を $x = 2 + 5 t$ とおいて $f (2 + 5 t) \equiv 0 (mod 25)$ から $t$ を $5$ を法として決める。同様に法 $125$ の根を $x = a_{2} + 25 s$ とおく。

ヒント 3

$f (2 + 5 t) \equiv 5 (1 + 4 t) (mod 25)$ より $t \equiv 1$ 、法 $25$ での根は $7$ 。次に $f (7 + 25 s) \equiv 25 (2 + 4 s) (mod 125)$ となるので、 $2 + 4 s \equiv 0 (mod 5)$ を解く。

答えと解説

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57

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解説を読む

手順 1: ヘンゼルの補題の条件を確かめる。 $f (x) = x^{2} + 1$ , $f^{'} (x) = 2 x$ である。 $a_{1} = 2$ とすると
$f (2) = 5 \equiv 0 (mod 5), f^{'} (2) = 4 \neq \equiv 0 (mod 5) .$
よってヘンゼルの補題により、 $α \equiv 2 (mod 5)$ をみたす $Z_{5}$ の根 $α$ がただ 1 つ存在し、法 $5^{k}$ での近似を順に一意に持ち上げられる。

手順 2: 法 $25$ に持ち上げる。 $x = 2 + 5 t$ （ $t$ は整数）とおくと
$f (2 + 5 t) = 4 + 20 t + 25 t^{2} + 1 \equiv 5 + 20 t = 5 (1 + 4 t) (mod 25) .$
これが $25$ で割り切れる条件は $1 + 4 t \equiv 0 (mod 5)$ 、すなわち $4 t \equiv - 1 \equiv 4 (mod 5)$ より $t \equiv 1 (mod 5)$ 。よって $a_{2} = 7$ で、実際 $7^{2} + 1 = 50 \equiv 0 (mod 25)$ 。

（ニュートン法の式 $a_{2} \equiv a_{1} - \frac{f ( a _{1} )}{f ^{'} ( a _{1} )}$ で書くと、 $\frac{f ( 2 )}{f ^{'} ( 2 )} = \frac{5}{4}$ で $4^{- 1} \equiv - 1 (mod 5)$ だから $a_{2} \equiv 2 - 5 \cdot (- 1) = 7 (mod 25)$ と同じ結果になる。）

手順 3: 法 $125$ に持ち上げる。 $x = 7 + 25 s$ とおくと
$f (7 + 25 s) = 49 + 350 s + 625 s^{2} + 1 \equiv 50 + 350 s \equiv 50 + 100 s = 25 (2 + 4 s) (mod 125) .$
これが $125$ で割り切れる条件は $2 + 4 s \equiv 0 (mod 5)$ 、すなわち $4 s \equiv 3 (mod 5)$ 。 $4^{- 1} \equiv 4 (mod 5)$ なので $s \equiv 12 \equiv 2 (mod 5)$ 。よって
$a_{3} = 7 + 25 \cdot 2 = 57.$

手順 4: 検算。 $5 7^{2} + 1 = 3249 + 1 = 3250 = 125 \cdot 26$ なので $f (57) \equiv 0 (mod 125)$ 、また $57 \equiv 2 (mod 5)$ である。

したがって $n = 57$ 。

別解

ヘンゼルの補題（ニュートン法）で持ち上げる。 $f^{'} (x) = 2 x$ 。

$mod 5$ : $2^{2} + 1 = 5 \equiv 0$ で $f^{'} (2) = 4 \neq \equiv 0$ なので一意に持ち上がる。

$mod 25$ : $x = 2 + 5 t$ とおくと $f (x) = 4 + 20 t + 25 t^{2} + 1 \equiv 5 + 20 t (mod 25)$ 。 $5 + 20 t \equiv 0 (mod 25)$ より $1 + 4 t \equiv 0 (mod 5)$ 、 $t \equiv 1$ 。よって $x \equiv 7 (mod 25)$ 。確認: $7^{2} + 1 = 50 \equiv 0 (mod 25)$ 。

$mod 125$ : $x = 7 + 25 s$ とおくと $f (x) = 49 + 350 s + 625 s^{2} + 1 \equiv 50 + 100 s (mod 125)$ 。 $50 + 100 s \equiv 0 (mod 125)$ より $2 + 4 s \equiv 0 (mod 5)$ 、 $4 s \equiv 3$ 、 $s \equiv 2$ 。よって $x \equiv 57 (mod 125)$ 。

検算: $5 7^{2} + 1 = 3250 = 125 \times 26$ で $125$ の倍数。 $57 \equiv 2 (mod 5)$ も満たす。よって $n = 57$ 。

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