代数的整数論の問題

1. ${\mathbb{Q}}_2$ の平方数の判定法. $a\in {\mathbb{Q}}_2^{\times }$ を $a=2^{k}u$（$k=v_2(a)\in \mathbb{Z}$、$u\in {\mathbb{Z}}_2^{\times }$）と書く。

- $x^2=a$ なら $2v_2(x)=k$ なので $k$ は偶数。このとき $x=2^{k/2}y$（$y\in {\mathbb{Z}}_2^{\times }$）として $y^2=u$。奇数 $y$ について $y^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので、$u\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ が必要。
- 逆に $k$ が偶数で $u\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ とする。$f(x)=x^2-u$ とおくと $f^{\prime }(x)=2x$ で、
$$|f(1){|}_2=|1-u{|}_2\le 2^{-3}<2^{-2}=|f^{\prime }(1){|}_2^2.$$
ヘンゼルの補題（$|f(a_0)|<|f^{\prime }(a_0){|}^2$ なら $a_0$ の近くに根がある形）により、$y^2=u$ をみたす $y\in {\mathbb{Z}}_2$ が存在する。よって $a=(2^{k/2}y{)}^2$ は平方数。

まとめると、$a$ が ${\mathbb{Q}}_2$ で平方数 $⟺$ $v_2(a)$ が偶数で、$a/2^{v_2(a)}\equiv 1(\mathrm{mod}8)$。

2. 数え上げ. $1\le a\le 100$ の整数を $a=4^{j}u$（$u$ は奇数）の形で数える。

• $j=0$（$a=u$）: $u\equiv 1(\mathrm{mod}8)$、$u\le 100$ → $1,9,17,\dots ,97$。$(97-1)/8+1=13$ 個。
• $j=1$（$a=4u$）: $u\le 25$、$u\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ → $u=1,9,17,25$、すなわち $a=4,36,68,100$ の $4$ 個。
• $j=2$（$a=16u$）: $u\le 6$ → $u=1$、$a=16$ の $1$ 個。
• $j=3$（$a=64u$）: $u\le 1$ → $u=1$、$a=64$ の $1$ 個。
• $j\ge 4$: $4^4=256>100$ なのでなし。

合計は $13+4+1+1=19$ 個である。

$a\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ を $a=2^{e}u$（$u$ は奇数）と書く。${\mathbb{Q}}_2$ で平方数であるための必要十分条件は、$e$ が偶数かつ $u\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ である（${\mathbb{Z}}_2^{\times }$ の元が平方であることと $\mathrm{mod}8$ で 1 に合同であることは同値、というヘンゼルの補題による）。\n\n$e=2k$ として $a=4^{k}u\le 100$, $u\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ を数える。\n- $k=0$: $u\le 100$, $u=1,9,17,\dots ,97$ で $13$ 個。\n- $k=1$: $u\le 25$, $u=1,9,17,25$ で $4$ 個。\n- $k=2$: $16u\le 100$, $u\le 6$, $u=1$ で $1$ 個。\n- $k=3$: $64u\le 100$, $u=1$ で $1$ 個。\n- $k\ge 4$: $256>100$ で 0 個。\n\n合計 $13+4+1+1=19$。検算: 例えば $a=17$ は $17\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ で平方、$a=25=5^2$ は $25\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ で平方、$a=9,81$ も $\equiv 1$ で平方。$a=3,5,7$ は $\mathrm{mod}8$ で 1 でないので平方でない。$a=2$ は $e=1$ が奇数で平方でない。これらは整合する。