代数的整数論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学代数的整数論

$p$ を素数とし、 $Q_{p}$ を $p$ 進数体、 $Z_{p}$ を $p$ 進整数環、 $v_{p}$ を $Q_{p}$ 上の $p$ 進付値（ $v_{p} (0) = \infty$ ）、 $∣ x ∣_{p} = p^{- v_{p} (x)}$ とする。ここで体の自己同型とは、全単射な環準同型 $σ : Q_{p} \to Q_{p}$ （ $σ (1) = 1$ ）のことであり、 $σ$ の連続性は仮定しない。

$Q_{p}$ の体の自己同型は恒等写像に限ることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- （ヘンゼルの補題） $f (t) \in Z_{p} [t]$ と $a \in Z_{p}$ が $∣ f (a) ∣_{p} < ∣ f^{'} (a) ∣_{p}^{2}$ を満たすならば、 $f (α) = 0$ となる $α \in Z_{p}$ が存在する。
- $Q$ は $Q_{p}$ の中で稠密である。
- $v_{p}$ の基本性質 $v_{p} (x y) = v_{p} (x) + v_{p} (y)$ 、 $v_{p} (x + y) \geq min (v_{p} (x), v_{p} (y))$ （ $v_{p} (x) \neq = v_{p} (y)$ のときは等号）、および $Z_{p} = {x ∣ v_{p} (x) \geq 0}$ 、 $Z_{p}^{\times} = {x ∣ v_{p} (x) = 0}$ 、 $Z_{p} / p^{n} Z_{p} ≅ Z / p^{n} Z$ 。

この問題で使うもの

ヘンゼルの補題と p 進数での根（説明と入口の問題）
p 進付値と p 進収束（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$σ$ は $Q$ を固定するので、 $σ$ が「連続」であることさえ言えれば、 $Q$ の稠密性から $σ = id$ が従います。連続性を出すには、 $Z_{p}$ を「平方であるかどうか」という体の演算だけで書ける条件で特徴づけ、 $σ (Z_{p}) \subset Z_{p}$ を示しましょう。

ヒント 2

$p$ が奇素数なら「 $x \in Z_{p} ⟺ 1 + p x^{2}$ が平方」、 $p = 2$ なら「 $x \in Z_{2} ⟺ 1 + 8 x^{2}$ が平方」が成り立ちます。 $\Rightarrow$ はヘンゼルの補題（ $a = 1$ ）、 $\Leftarrow$ は平方の付値が偶数であることと、 $Z_{2}^{\times}$ の元の平方が $8$ を法として $1$ に合同であることを使います。

ヒント 3

特徴づけが示せたら、 $x \in Z_{p}$ について $1 + c x^{2} = y^{2}$ に $σ$ を施して $σ (x) \in Z_{p}$ を得ます。すると $σ (p^{n} Z_{p}) = p^{n} σ (Z_{p}) \subset p^{n} Z_{p}$ となるので、 $x - r_{n} \in p^{n} Z_{p}$ となる有理数 $r_{n}$ をとって $σ (x) - r_{n}$ を評価します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$σ (1) = 1$ から $σ$ が $Z$ 、さらに $Q$ の各元を固定することを示している（1 点）
$x \in Z_{p}$ のとき $1 + c x^{2}$ （ $p$ 奇素数で $c = p$ 、 $p = 2$ で $c = 8$ など適切な定数）が平方であることを、ヘンゼルの補題の条件 $∣ f (a) ∣_{p} < ∣ f^{'} (a) ∣_{p}^{2}$ を具体的に確かめて示している（2 点）
$x \in / Z_{p}$ のとき $1 + c x^{2}$ が平方でないことを、付値の偶奇（ $v_{p} (1 + c x^{2}) = v_{p} (c x^{2})$ が奇数）と、 $p = 2$ ・ $v_{2} (x) = - 1$ の場合の $8$ を法とする議論で漏れなく示している（3 点）
特徴づけが体の演算だけで書けることを使い、 $1 + c x^{2} = y^{2}$ に $σ$ を施して $σ (Z_{p}) \subset Z_{p}$ 、さらに $σ (p^{n} Z_{p}) \subset p^{n} Z_{p}$ を導いている（2 点）
$x - r_{n} \in p^{n} Z_{p}$ となる有理数列をとり、 $σ (x) - x \in p^{n} Z_{p}$ が全ての $n$ で成り立つことから $σ (x) = x$ を結論している（2 点）

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模範解答を読む

以下、 $c = p$ （ $p$ が奇素数のとき）、 $c = 8$ （ $p = 2$ のとき）とおく。

補題. $x \in Q_{p}$ に対し、 $x \in Z_{p}$ であることと、 $1 + c x^{2}$ が $Q_{p}$ のある元の平方であることは同値である。

補題の証明.

(i) $x \in Z_{p}$ ならば平方であること。 $f (t) = t^{2} - (1 + c x^{2}) \in Z_{p} [t]$ 、 $a = 1$ とおく。 $f (1) = - c x^{2}$ 、 $f^{'} (1) = 2$ である。
- $p$ が奇素数のとき： $v_{p} (f (1)) = 1 + 2 v_{p} (x) \geq 1$ より $∣ f (1) ∣_{p} \leq p^{- 1}$ 。一方 $2 \in Z_{p}^{\times}$ なので $∣ f^{'} (1) ∣_{p}^{2} = 1$ 。よって $∣ f (1) ∣_{p} < ∣ f^{'} (1) ∣_{p}^{2}$ 。
- $p = 2$ のとき： $v_{2} (f (1)) = 3 + 2 v_{2} (x) \geq 3$ より $∣ f (1) ∣_{2} \leq 2^{- 3}$ 。一方 $∣ f^{'} (1) ∣_{2}^{2} = ∣2 ∣_{2}^{2} = 2^{- 2}$ 。よって $∣ f (1) ∣_{2} < ∣ f^{'} (1) ∣_{2}^{2}$ 。
いずれの場合もヘンゼルの補題により $α^{2} = 1 + c x^{2}$ となる $α \in Z_{p}$ が存在する。

(ii) $x \in / Z_{p}$ ならば平方でないこと。 $v_{p} (x) = - k$ （ $k \geq 1$ ）とする。まず、 $y \in Q_{p}^{\times}$ ならば $v_{p} (y^{2}) = 2 v_{p} (y)$ は偶数であり、また $0 = y^{2}$ となるのは $y = 0$ のときだけであることに注意する。
- $v_{p} (c x^{2}) < 0$ の場合：これは $p$ が奇素数のとき（ $v_{p} (c x^{2}) = 1 - 2 k \leq - 1$ ）、および $p = 2$ で $k \geq 2$ のとき（ $v_{2} (c x^{2}) = 3 - 2 k \leq - 1$ ）に起こる。このとき $v_{p} (1) = 0 \neq = v_{p} (c x^{2})$ なので $v_{p} (1 + c x^{2}) = v_{p} (c x^{2})$ であり、これは奇数（ $1 - 2 k$ または $3 - 2 k$ ）である。特に $1 + c x^{2} \neq = 0$ で、付値が奇数だから平方ではない。
- $p = 2$ 、 $k = 1$ の場合： $x = u /2$ （ $u \in Z_{2}^{\times}$ ）と書け、 $1 + 8 x^{2} = 1 + 2 u^{2}$ 。 $Z_{2} /8 Z_{2} ≅ Z /8 Z$ より $u \equiv n (mod 8 Z_{2})$ となる奇数 $n$ がとれ、 $n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ は連続する 2 つの偶数の積なので 8 で割り切れる。よって $u^{2} \equiv 1 (mod 8)$ であり、 $1 + 2 u^{2} \equiv 3 (mod 8)$ （特に $v_{2} (1 + 2 u^{2}) = 0$ ）。もし $1 + 2 u^{2} = y^{2}$ ならば $2 v_{2} (y) = 0$ より $y \in Z_{2}^{\times}$ で、同じ議論から $y^{2} \equiv 1 (mod 8)$ となり、 $3 \equiv 1 (mod 8)$ という矛盾が生じる。よって平方ではない。

以上で補題が示された。 $□$

本証明. $σ$ を $Q_{p}$ の体の自己同型とする。

ステップ 1： $σ$ は $Q$ の各元を固定する。 $σ (1) = 1$ と加法性から、正の整数 $n$ について $σ (n) = σ (1 + \dots + 1) = n$ 。また $σ (0) = 0$ 、 $σ (- n) = - σ (n) = - n$ 。整数 $m$ と $0$ でない整数 $n$ について $σ (n) σ (m / n) = σ (m)$ から $σ (m / n) = m / n$ 。

ステップ 2： $σ (Z_{p}) \subset Z_{p}$ 。 $x \in Z_{p}$ とすると、補題 (i) より $1 + c x^{2} = y^{2}$ となる $y \in Q_{p}$ がある。両辺に $σ$ を施すと、 $σ$ は環準同型で $σ (c) = c$ （ステップ 1）なので $1 + c σ (x)^{2} = σ (y)^{2}$ 。よって $1 + c σ (x)^{2}$ は平方であり、補題 (ii)（の対偶）より $σ (x) \in Z_{p}$ 。

ステップ 3： $σ (p^{n} Z_{p}) \subset p^{n} Z_{p}$ （ $n \geq 0$ ）。 $z \in Z_{p}$ に対し $σ (p^{n} z) = σ (p)^{n} σ (z) = p^{n} σ (z)$ であり、ステップ 2 より $σ (z) \in Z_{p}$ だから $σ (p^{n} z) \in p^{n} Z_{p}$ 。

ステップ 4： $σ = id$ 。 $x \in Q_{p}$ を任意にとる。 $Q$ の稠密性から、各 $n \geq 1$ に対し $∣ x - r_{n} ∣_{p} \leq p^{- n}$ 、すなわち $x - r_{n} \in p^{n} Z_{p}$ となる $r_{n} \in Q$ がとれる。ステップ 1, 3 より
$σ (x) - r_{n} = σ (x) - σ (r_{n}) = σ (x - r_{n}) \in p^{n} Z_{p} .$
したがって
$σ (x) - x = (σ (x) - r_{n}) - (x - r_{n}) \in p^{n} Z_{p}$
がすべての $n \geq 1$ で成り立つ。すなわち $v_{p} (σ (x) - x) \geq n$ がすべての $n$ で成り立つので $v_{p} (σ (x) - x) = \infty$ 、つまり $σ (x) = x$ 。

以上より、 $Q_{p}$ の任意の体の自己同型 $σ$ は恒等写像である。 $■$

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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