環は単位元 をもつ可換環とし、素イデアルは環全体と異なるものとする。有理数体 上の 2 変数多項式環の剰余環 の素イデアルの個数を求めよ。
体のテンソル積の素イデアル
（ は既約）のとき、 の素イデアルが の 上の既約因子と対応することを使える。これと合成体の次数を使い、 のような環の素イデアルの個数を求められる
前提
- 剰余環の素イデアル（対応定理） （大学院数学 可換環論・ホモロジー代数）
- 合成体の拡大次数と体の交わり （大学数学 代数学）
- 円分体のガロア群と部分体 （大学院数学 体論・ガロア理論）
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説明
が既約のとき は体で、環 は と同じものです（これは 2 つの体 と の「テンソル積」と呼ばれる環の具体形です）。その素イデアルは、 を 上で分解したときの相異なるモニック既約因子と 1 対 1 に対応します。 のように 上で可約な多項式が来ても、既約因子ごとに分けて体ごとに数え、合成体の次数を使って の 上の因子の個数を求めれば、素イデアルの個数がわかります。環は単位元をもつ可換環とします。
なぜそうしてよいのか
まず剰余を 2 段階に分けます。 を で割ると になり、さらに で割ると です。 は体上の 1 変数多項式環なので、イデアルはすべて 1 つの多項式で生成され、 でない素イデアルは （ はモニック既約）の形です。対応定理より （ は 1 次以上）の素イデアルは を含む の素イデアル、すなわち となるモニック既約多項式 が生成する に対応します。 は体なので、これらはすべて極大です。
が相異なる既約因子の積 のときは、中国剰余定理で （）となり、 を付け加えて で割っても です。直積 の素イデアルは、1 つの成分 だけを の素イデアルにし、ほかの成分を全体にしたものなので、素イデアルの個数は各成分の個数の和です。 は円分多項式の積 で、各因子は相異なり既約、（）です。 が 上可約なら、同じように も 上の相異なる既約因子 に分けて とし、 ごとに数えて足します（相異なる は 上互いに素なので 上でも共通の因子をもちません）。
最後に、 上既約な の 上の因子の個数です。複素数の中で考え、 を の根、 とし、 と がどちらも のガロア拡大であるとします。標数 なので は重根をもたず、 上の分解 の は相異なります。合成体 もガロア拡大で、 は を満たすので、 の係数に を施した もまた の 上のモニック既約因子です。 は 上既約なので は の根全体に推移的に働きます。そこで の根 と の根 に対し となる をとると、 は を根にもつ 上の既約因子なので です。よって の次数はすべて等しく、 は の 上の最小多項式なので、その次数は です。したがって因子の個数は
となります（合成体の次数の公式）。例えば （ は の平方数でない 以外の有理数。このとき は 上既約で は 2 次のガロア拡大）なら、 のとき 2 個、そうでないとき 1 個です。 が でない平方数 なら が 上で既に分かれて常に 2 個、 なら の相異なる既約因子は だけで 1 個です。
手順
の多項式 を 上の相異なる既約因子 に分解し（ なら ）、 と書く
各 を具体的な体と見なす（）
が 上既約であることを確かめる（ なら が の平方数でも でもないこと）。可約なら 上の相異なる既約因子に分け、因子ごとに次の手順を行って足す
各 について、 上既約な の 上の相異なるモニック既約因子の個数を求める。 と がともにガロア拡大なら、個数は （ なら かどうかで 2 か 1）
各成分の個数を足し合わせる。得られた素イデアルはすべて極大イデアルでもある
例題
環 の素イデアルの個数を求めよ。
例題の解答
手順 1: で、各因子は 上既約かつ相異なるので
手順 2: 、、 です。どれも のガロア拡大です。
手順 3: は の平方数でも でもないので は 上既約で、 はガロア拡大です。
手順 4:
- : なので因子は 1 個ずつ。
- : は 2 次体なので、含む 2 次体は 自身だけです。 なので 、因子は 1 個。
- : より なので 、因子は 2 個。
手順 5: 合計 個。
答え:
よくある誤り
の因子を 上でだけ数え、各成分で 1 個としてしまう誤り（上の例で とする）。正しくは成分の体 上で分解するので、 上では と 2 個に分かれる。
側の 1 次の因子 、 を落としてしまう誤り。 の既約因子は の 4 個で、 の成分も 2 つある。
の公式を がガロア拡大でないときにも使ってしまう誤り。例えば 、 では で答えは偶然 1 個だが、（ガロアでない）なら と次数の違う 2 個に分かれ、「次数がすべて等しい」という議論も成り立たない。ガロアでない場合は 上で直接根の有無や次数を調べる。
が円分体に入るかを符号を無視して判定してしまう誤り。例えば だが 。正しくは 上で は既約で、因子は 1 個。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。