体論・ガロア理論の問題

$\alpha$ がみたす多項式を作る

$\alpha -\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$ の両辺を 3 乗すると
$${\alpha }^3-3\sqrt{2}{\alpha }^2+6\alpha -2\sqrt{2}=3.$$
$\sqrt{2}$ を含む項を右辺に集めると
$${\alpha }^3+6\alpha -3=\sqrt{2}(3{\alpha }^2+2).$$
両辺を 2 乗して
$$({\alpha }^3+6\alpha -3{)}^2=2(3{\alpha }^2+2{)}^2.$$
左辺 $={\alpha }^6+12{\alpha }^4-6{\alpha }^3+36{\alpha }^2-36\alpha +9$、右辺 $=18{\alpha }^4+24{\alpha }^2+8$ なので、
$$f(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1$$
とおくと $f(\alpha )=0$ である。

次数が $6$ であること

$\alpha \in M=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{3})$ である。$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$（$x^2-2$ はアイゼンシュタイン）、$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=3$（$x^3-3$ はアイゼンシュタイン）で、$2$ と $3$ は互いに素だから $[M:\mathbb{Q}]$ は $6$ の倍数であり、$[M:\mathbb{Q}]\le 2\cdot 3=6$ と合わせて $[M:\mathbb{Q}]=6$。

次に $\mathbb{Q}(\alpha )=M$ を示す。上の式 ${\alpha }^3+6\alpha -3=\sqrt{2}(3{\alpha }^2+2)$ で $3{\alpha }^2+2\ne 0$（$\alpha$ は実数）だから
$$\sqrt{2}=\frac{{\alpha }^3+6\alpha -3}{3{\alpha }^2+2}\in \mathbb{Q}(\alpha ),$$
したがって $\sqrt[3]{3}=\alpha -\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$ となり、$\mathbb{Q}(\alpha )=M$。よって $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=6$ で、$\alpha$ の最小多項式の次数は $6$ である。

結論

$f$ はモニックで次数 $6$、$f(\alpha )=0$ だから、$\alpha$ の最小多項式は $f$ に一致する:
$$x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1.$$

$(\alpha -\sqrt{2}{)}^3=3$ を展開して ${\alpha }^3-3\sqrt{2}{\alpha }^2+6\alpha -2\sqrt{2}=3$、すなわち ${\alpha }^3+6\alpha -3=\sqrt{2}(3{\alpha }^2+2)$。両辺を 2 乗して $({\alpha }^3+6\alpha -3{)}^2=2(3{\alpha }^2+2{)}^2$。左辺 $={\alpha }^6+12{\alpha }^4-6{\alpha }^3+36{\alpha }^2-36\alpha +9$、右辺 $=18{\alpha }^4+24{\alpha }^2+8$。よって ${\alpha }^6-6{\alpha }^4-6{\alpha }^3+12{\alpha }^2-36\alpha +1=0$。既約性: $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$, $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=3$ は互いに素なので $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}]=6$。$\alpha$ の共役 $\pm \sqrt{2}+{\omega }^j\sqrt[3]{3}$ ($j=0,1,2$) の 6 個は互いに異なる（$\sqrt{2}$ は実数、${\omega }^j\sqrt[3]{3}$ の虚部・実部を比べて区別できる）ので、ガロア群（位数 6）が推移的に作用し、$\alpha$ の最小多項式の次数は 6。この 6 次式がその最小多項式。検算: $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\approx 1.41421+1.44225=2.85646$ で $x^2\approx 8.1594$, $x^3\approx 23.308$, $x^4\approx 66.58$, $x^6\approx 543.3$ とすると $543.3-399.5-139.8+97.9-102.8+1\approx 0$（丸め誤差の範囲）。