可換環論・ホモロジー代数の問題

$I=(y(x-1),y(y-3)(y^2-2))$ とおく。対応定理より、$A=\mathbb{Q}[x,y]/I$ の極小素イデアルは $I$ を含む $\mathbb{Q}[x,y]$ の素イデアルのうち極小なものと対応し、それは $\sqrt{I}={\mathfrak{p}}_1\cap \cdots \cap {\mathfrak{p}}_s$ と分けたときの ${\mathfrak{p}}_i$（零点集合の既約成分）である。

手順 1: 零点集合を求める. 連立方程式
$$y(x-1)=0,y(y-3)(y^2-2)=0$$
を（複素数の範囲で）解く。
- $y=0$ のとき: 2 式とも成り立つので、直線 $y=0$ 全体が解。
- $y\ne 0$ のとき: 1 つ目の式から $x=1$、2 つ目の式から $(y-3)(y^2-2)=0$ より $y=3,\sqrt{2},-\sqrt{2}$。点 $(1,3),(1,\sqrt{2}),(1,-\sqrt{2})$。

よって零点集合は 直線 $\{y=0\}$ と 3 点 $(1,3),(1,\pm \sqrt{2})$ の和集合である。3 点はどれも $y\ne 0$ なので直線に含まれない。

手順 2: 有理数体上の素イデアルにまとめる. 有理数体上では、ガロア共役な点 $(1,\sqrt{2})$ と $(1,-\sqrt{2})$ をまとめて 1 つの素イデアルにする。
- 直線 $y=0$: ${\mathfrak{p}}_1=(y)$（$\mathbb{Q}[x,y]/(y)\cong \mathbb{Q}[x]$ は整域）
- 点 $(1,3)$: ${\mathfrak{p}}_2=(x-1,y-3)$（剰余環は $\mathbb{Q}$）
- 点 $(1,\pm \sqrt{2})$: ${\mathfrak{p}}_3=(x-1,y^2-2)$（剰余環は $\mathbb{Q}[y]/(y^2-2)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ で体）

このとき $\sqrt{I}={\mathfrak{p}}_1\cap {\mathfrak{p}}_2\cap {\mathfrak{p}}_3$ である。

手順 3: 極小性の確認. ${\mathfrak{p}}_2,{\mathfrak{p}}_3$ は $y$ を含まないので ${\mathfrak{p}}_1$ を含まない。また ${\mathfrak{p}}_1$ は極大イデアルではないので ${\mathfrak{p}}_2,{\mathfrak{p}}_3$ を含まず、${\mathfrak{p}}_2\ne {\mathfrak{p}}_3$ はどちらも極大イデアル。よって互いに包含関係がなく、3 つとも極小である。

以上より、$A$ の極小素イデアルは $3$ 個。

$I=(y(x-1),y(y-3)(y^2-2))$ とする。$A$ の極小素イデアルは $I$ を含む $\mathbb{Q}[x,y]$ の極小素イデアルと対応する。素イデアル $P\supseteq I$ について、$y(x-1)\in P$ より $y\in P$ または $x-1\in P$。\n\n(a) $y\in P$ のとき: $P\supseteq (y)$ で、$(y)$ は素イデアルかつ $I\subseteq (y)$ なので、この場合の極小なものは $(y)$ のみ。\n\n(b) $y\notin P$, $x-1\in P$ のとき: $y(y-3)(y^2-2)\in P$ で $y\notin P$ より $(y-3)(y^2-2)\in P$、すなわち $y-3\in P$ または $y^2-2\in P$（$y^2-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約）。よって $P\supseteq (x-1,y-3)$ または $P\supseteq (x-1,y^2-2)$。いずれも $\mathbb{Q}[x,y]/(x-1,y-3)\cong \mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}[x,y]/(x-1,y^2-2)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ が体なので極大イデアルで、$I$ を含む。\n\n$I$ を含む素イデアルは $(y)$（高さ 1）と、2 つの極大イデアル ${\mathfrak{m}}_1=(x-1,y-3)$, ${\mathfrak{m}}_2=(x-1,y^2-2)$（高さ 2）、およびそれらを含む素イデアル（極大イデアルなのでそれ自身）。$(y)\subseteq {\mathfrak{m}}_i$ かを調べる: $y\in {\mathfrak{m}}_1$ なら $\mathbb{Q}[x,y]/{\mathfrak{m}}_1$ で $y=3\ne 0$ なので $y\notin {\mathfrak{m}}_1$。${\mathfrak{m}}_2$ では $y^2=2$ より $y\ne 0$ なので $y\notin {\mathfrak{m}}_2$。よって $(y)⊈{\mathfrak{m}}_i$ で、${\mathfrak{m}}_1,{\mathfrak{m}}_2$ は極小。${\mathfrak{m}}_1⊈{\mathfrak{m}}_2$ も明らか（相異なる極大イデアル）。\n\n極小素イデアルは $(y)$, $(x-1,y-3)$, $(x-1,y^2-2)$ の 3 個。幾何的には、直線 $y=0$ と、点 $(1,3)$、および $(1,\pm \sqrt{2})$ の $\mathrm{Gal}$ 共役な組という孤立点 2 つ（$\mathbb{Q}$ 上）からなる。