可換環論・ホモロジー代数の問題

$I=(f,g)$, $f=x^3-xy$, $g=y^2-xy$ とおく。

1. ${\dim }_{\mathbb{Q}}A$ の計算（グレブナー基底）。 次数逆辞書式順序（$x>y$）を使う。$f$ の先頭項は $x^3$、$g$ の先頭項は $xy$ である（$g$ の符号を変えて $g^{\prime }=xy-y^2$ とする）。$S$ 多項式を計算すると
$$yf-x^2{g}^{\prime }=(x^{3}y-x{y}^2)-(x^{3}y-x^2{y}^2)=x^2{y}^2-x{y}^2.$$
これを $g^{\prime }$ で割る（$xy\to y^2$ と置き換える）と $x^2{y}^2\to x{y}^3\to y^4$, $x{y}^2\to y^3$ となり、余りは $h=y^4-y^3$。次に
$$y^3{g}^{\prime }-xh=(x{y}^4-y^5)-(x{y}^4-x{y}^3)=x{y}^3-y^5\to y^4-y^5=-yh\to 0.$$
$f$ と $h$ の先頭項 $x^3,y^4$ は互いに素なので $S(f,h)$ も $0$ に簡約される。よって $\{x^3-xy,xy-y^2,y^4-y^3\}$ は $I$ のグレブナー基底であり、先頭項 $x^3,xy,y^4$ のいずれでも割り切れない単項式
$$1,x,x^2,y,y^2,y^3$$
が $A$ の $\mathbb{Q}$ 基底になる。したがって ${\dim }_{\mathbb{Q}}A=6$。

2. $A$ の極大イデアル。 $A$ は有限次元なのでアルティン環であり、極大イデアルは $f=g=0$ の $\overline{\mathbb{Q}}$ 上の共通零点に対応する。$f=x(x^2-y)$, $g=y(y-x)$ より
- $x=0$ のとき $y^2=0$ で $(0,0)$
- $y=x^2$ のとき $x^4=x^3$ より $x=0$ または $x=1$ で、$(0,0)$, $(1,1)$

となる。よって極大イデアルは $\mathfrak{m}=(x,y)$ と $\mathfrak{n}=(x-1,y-1)$ の 2 つだけである。アルティン環は局所化の直積に分解するので
$$A\cong A_{\mathfrak{m}}\times A_{\mathfrak{n}}.$$

3. $A_{\mathfrak{n}}$ の計算。 $A_{\mathfrak{n}}$ では $x,y$ は単元である。$x^3=xy$ を $x$ で割って $y=x^2$、$y^2=xy$ を $y$ で割って $y=x$。よって $x^2=x$ となり、$x$ で割って $x=1$、したがって $y=1$。ゆえに $A_{\mathfrak{n}}=\mathbb{Q}[x,y{]}_{(x-1,y-1)}/(x-1,y-1)\cong \mathbb{Q}$ であり、${\dim }_{\mathbb{Q}}{A}_{\mathfrak{n}}=1$。

4. 結論。
$${\dim }_{\mathbb{Q}}{A}_{\mathfrak{m}}=6-1=5.$$

（確認）$A_{\mathfrak{m}}$ では $y-1$ が単元なので $y^3(y-1)=0$ から $y^3=0$。さらに $xy=y^2$, $x^3=xy=y^2$, $x^{2}y=x{y}^2=y^3=0$ であり、$1,x,x^2,y,y^2$ が基底となって次元 $5$ と一致する。交点数で見ても、$f$ の成分 $x=0,y=x^2$ と $g$ の成分 $y=0,y=x$ の原点での交点数は $1+1+2+1=5$ である。

$f=x^3-xy=x(x^2-y)$、$g=y^2-xy=y(y-x)$ とおく。$f$ と $g$ は共通因子をもたないので、$A$ は有限次元で、$A_{\mathfrak{m}}$ の次元は原点での交点数 $I_0(f,g)$ に等しい。$\mathfrak{m}$ の剰余体は $\mathbb{Q}$ なので、長さと $\mathbb{Q}$ 上の次元は一致する。

交点数は各因子の組ごとに求めて足す。
- $I_0(x,y)=1$
- $I_0(x,y-x)=1$
- $I_0(x^2-y,y)$: $y=0$ を代入して $x^2=0$ より $2$
- $I_0(x^2-y,y-x)$: $y=x$ を代入して $x^2-x=x(x-1)$ となり、原点での重複度は $1$

合計は $1+1+2+1=5$ である。

検算として、$A$ 全体の次元をベズーの定理（次数 3 と 2）から $3\cdot 2=6$ とみなす。原点以外の共通零点を調べる。
- $x=0$ のとき $g=y^2=0$ となり、原点だけである。
- $y=x^2$ かつ $y=x$ のとき $(1,1)$ が得られる。この点では $f$ と $g$ が横断的に交わるので重複度は $1$ である。
- $y=x^2$ かつ $y=0$ のとき原点だけである。

無限遠での交点は、$f$ の最高次部分が $x^3$、$g$ の最高次部分が $y(y-x)$ で、$x=0$ と $y(y-x)=0$ の共通零点が射影空間の $(0:0)$ のみなので存在しない。よって全体は $6=5+1$ となり、原点での値 $5$ と整合する。