可換環論・ホモロジー代数の問題

$f=y^2-x^3,g=x^2-y^3$ とおく。

1. 極大イデアル（共通零点）の決定. ヒルベルトの零点定理より、$R$ の極大イデアルは $f=g=0$ をみたす点 $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$ と一対一に対応する。$b^2=a^3,a^2=b^3$ とする。$a=0$ なら $b=0$、$b=0$ なら $a=0$。$a,b\ne 0$ のとき
$$a^4=(a^2{)}^2=b^6=(b^2{)}^3=a^9$$
より $a^5=1$。さらに $b=\frac{b^3}{b^2}=\frac{a^2}{a^3}=a^{-1}=a^4$ で、実際 $b^2=a^8=a^3$, $b^3=a^{12}=a^2$ をみたす。よって共通零点は
$$(0,0),(\zeta ,{\zeta }^4)({\zeta }^5=1)$$
の $6$ 個である。

2. $R$ はアルティン環で、局所化の直積に分解する. $R$ の素イデアル $P$ に対応する $\mathbb{C}[x,y]$ の素イデアル $\tilde{P}\supset (f,g)$ の零点集合は上の有限集合に含まれる。零点定理より $\tilde{P}=I(V(\tilde{P}))$ であり、これが素イデアルであることから $V(\tilde{P})$ は $1$ 点、したがって $\tilde{P}$ は極大イデアルである。よって $R$ はネーター環で素イデアルがすべて極大、すなわちアルティン環であり
$$R\cong \prod _{\mathfrak{m}}{R}_{\mathfrak{m}},{\dim }_{\mathbb{C}}R=\sum _{\mathfrak{m}}{\dim }_{\mathbb{C}}{R}_{\mathfrak{m}}$$
が成り立つ。

3. 原点での局所化. $\mathfrak{m}=(x,y)$ とし、$R_{\mathfrak{m}}=\mathbb{C}[x,y{]}_{(x,y)}/(f,g)$ で考える。$R$ において
$$x^2=y^3=y\cdot y^2=y{x}^3⟹x^2(1-xy)=0.$$
$1-xy\notin (x,y)$ なので $1-xy$ は $R_{\mathfrak{m}}$ で可逆であり、$x^2=0$ が得られる。さらに $y^2=x^3=x\cdot x^2=0$ も得られる。よって局所環 $\mathbb{C}[x,y{]}_{(x,y)}$ のイデアルとして $(x^2,y^2)\subset (f,g)$。逆に $f=y^2-x\cdot x^2,g=x^2-y\cdot y^2\in (x^2,y^2)$ なので、局所環において $(f,g)=(x^2,y^2)$ である。$\mathbb{C}[x,y]/(x^2,y^2)$ は極大イデアルが $(x,y)$ だけの局所環（$x,y$ は冪零なので、$(x,y)$ に属さない元は既に可逆）なので
$$R_{\mathfrak{m}}\cong \mathbb{C}[x,y]/(x^2,y^2)$$
であり、基底 $1,x,y,xy$ より ${\dim }_{\mathbb{C}}{R}_{\mathfrak{m}}=4$。

4. 残りの $5$ 点での局所化. 点 $p=(a,b)=(\zeta ,{\zeta }^4)$ でのヤコビ行列式は
$$\det \left(\begin{array}{cc}{f}_x& f_y\\ g_x& g_y\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}-3x^2& 2y\\ 2x& -3y^2\end{array}\right)=9x^2{y}^2-4xy.$$
$ab={\zeta }^5=1$ より値は $9-4=5\ne 0$。したがって $f,g$ の ${\mathfrak{m}}_p/{\mathfrak{m}}_p^2$（${\mathfrak{m}}_p=(x-a,y-b)$ の局所化）における像は一次独立で、この $2$ 次元空間の基底となる。中山の補題より局所環 $\mathbb{C}[x,y{]}_{{\mathfrak{m}}_p}$ で $(f,g)={\mathfrak{m}}_p$ となり、$R_{{\mathfrak{m}}_p}\cong \mathbb{C}$、次元は $1$。

5. 結論.
$${\dim }_{\mathbb{C}}R=4+5\cdot 1=9.$$
（射影平面で両曲線は無限遠で交わらず、ベズーの定理の $3\cdot 3=9$ とも一致する。）

$R=\mathbb{C}[x,y]/(f,g)$ とおく。ただし $f=y^2-x^3$, $g=x^2-y^3$ とする。${\dim }_{\mathbb{C}}R$ は、共通零点での局所的な重複度の総和に等しい。

1. 共通零点を求める。$x=0$ なら $f=0$ より $y=0$ なので、原点が共通零点である。$x\ne 0$ のときは $y\ne 0$ で、$y^2=x^3$ と $x^2=y^3$ を辺々かけて $x^2{y}^2=x^3{y}^3$、よって $xy=1$ となる。$y=1/x$ を $y^2=x^3$ に代入すると $x^5=1$ となる。このとき $x^2=y^3=x^{-3}$ も成り立つ。したがって、原点以外の共通零点は $(\zeta ,{\zeta }^{-1})$（${\zeta }^5=1$）の 5 点である。

2. 原点以外の 5 点の重複度を求める。ヤコビ行列式は $\det \left(\begin{array}{cc}-3x^2& 2y\\ 2x& -3y^2\end{array}\right)=9x^2{y}^2-4xy$ である。$xy=1$ を代入すると $9-4=5\ne 0$ なので、5 点とも単純な交点で、重複度は 1 ずつである。

3. 原点の重複度を求める。$f=0$ は原点でカスプで、接線は $y=0$ である。$g=0$ も原点でカスプで、接線は $x=0$ である。どちらも原点での重複度は 2 で、接線が異なるので、交点数は $2\cdot 2=4$ である。

4. 合計を確かめる。ベズーの定理より、射影平面での交点数の総和は $3\cdot 3=9$ である。無限遠での最高次の形式は $x^3$ と $y^3$ で、共通零点をもたない。したがって無限遠に交点はなく、アフィン平面での交点数の総和は 9 になる。実際、$4+5\cdot 1=9$ となり、上の計算と一致する。

よって ${\dim }_{\mathbb{C}}R=9$ である。