射影多様体のヒルベルト多項式

$S=\mathbb{C}[x,y,z]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標環とみなす。$4$ 次斉次多項式 $F=x^4+y^4+z^4$ が定める平面曲線 $C:F=0$ の斉次座標環 $S/(F)$ を考え、整数 $t\ge 0$ に対して $h(t)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/(F){)}_t$ とおく（$(S/(F){)}_t$ は次数 $t$ の部分）。十分大きいすべての整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ をみたす $t$ の多項式 $P(t)$（$C$ のヒルベルト多項式）を求めよ。

$k$ を体とし，次数付き多項式環 $S=k[x,y,z]$（$x,y,z$ の次数はすべて $1$）の斉次イデアル $I=(x^2,xy)$ を考える。次数付き環 $A=S/I$ のヒルベルト関数を $H_A(n)={\dim }_k{A}_n$（$n$ は $0$ 以上の整数，$A_n$ は $A$ の $n$ 次斉次成分）とする。十分大きいすべての整数 $n$ に対して $H_A(n)=P(n)$ をみたす多項式 $P(n)$（ヒルベルト多項式）を求めよ。

$S=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とし、
$$Q_1=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,Q_2=x_0^2+2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+5x_4^2$$
とおく。$I=(Q_1,Q_2)\subset S$ とし、$X=V(I)\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^4$ とする。次数つき環 $S/I$ の次数 $t$ の斉次部分の $\mathbb{C}$ 上の次元を $h(t)$ とするとき、十分大きい整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ となる多項式 $P(t)$（$X$ のヒルベルト多項式）を求めよ。ただし $Q_1,Q_2$ は $S$ の正則列をなす（$X$ は完全交差である）ことを用いてよい。

$k$ を体、$n\ge 1$ を整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を通常の次数付けをもつ多項式環、$S_m$ を $m$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする（$m<0$ なら $S_m=0$）。$F\in S$ を次数 $d\ge 1$ の $0$ でない斉次多項式とし、$I=(F)$ を $F$ が生成するイデアル、$I_m=I\cap S_m$ とおく。$R=S/I$ の $m$ 次部分の次元を $h(m)={\dim }_k{S}_m-{\dim }_k{I}_m$ と定める。

このとき、$m\ge d$ をみたすすべての整数 $m$ について
$$h(m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{n}\right)$$
が成り立ち、さらに右辺は $m$ の多項式として次数 $n-1$、最高次の係数 $\frac{d}{(n-1)!}$ をもつことを証明せよ。ただし ${\dim }_k{S}_m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)$（$m\ge 0$）は用いてよい。

$S=\mathbb{C}[z_{00},z_{01},z_{02},z_{10},z_{11},z_{12}]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}^5$ の斉次座標環とみなす。$I_X\subset S$ を行列
$$\left(\begin{array}{ccc}{z}_{00}& z_{01}& z_{02}\\ z_{10}& z_{11}& z_{12}\end{array}\right)$$
の $2$ 次小行列式全体で生成されるイデアルとする。$I_X$ はセグレ埋め込み ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$，$([x_0:x_1],[y_0:y_1:y_2])\mapsto [z_{ij}]=[x_i{y}_j]$ の像 $X$ の斉次素イデアルであり，$S/I_X$ の次数 $d$ 部分は $x$ について $d$ 次かつ $y$ について $d$ 次の双斉次多項式全体の空間と同型である（この事実は用いてよい）。

さらに
$$Q=z_{00}^2+z_{11}^2+z_{12}^2$$
とおき，$J=I_X+(Q)$ とする。次数付き $S$ 加群 $S/J$ のヒルベルト多項式 $P(t)$（すなわち十分大きな整数 $d$ に対して $P(d)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/J{)}_d$ をみたす $t$ の多項式）を求めよ。

環は単位元 $1$ をもつ可換環とする。$k$ を体とし、$S=k[x,y,z,w]$ を各変数の次数が $1$ の次数付き多項式環とする。単項式イデアル
$$I=(x^2,xy,y^{3}z)$$
による剰余環 $R=S/I$ を考える。$R$ は次数付き環 $R={⨁}_{n\ge 0}{R}_n$ であり、そのヒルベルト関数を $H_R(n)={\dim }_k{R}_n$ $(n\ge 0)$ と定める。十分大きいすべての整数 $n$ に対して $H_R(n)=P_R(n)$ をみたす多項式 $P_R(n)\in \mathbb{Q}[n]$（ヒルベルト多項式）を求めよ。

$R=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とする。$F\in R$ を既約な $2$ 次斉次多項式、$G\in R$ を $F$ で割り切れない $3$ 次斉次多項式とし、次数つき環 $S=R/(F,G)$ を考える。整数 $m\ge 0$ に対して $h_S(m)={\dim }_{\mathbb{C}}{S}_m$（$S_m$ は $S$ の次数 $m$ の斉次成分）とおくと、十分大きいすべての $m$ に対して $h_S(m)=P(m)$ となる多項式 $P$（$S$ のヒルベルト多項式）がただ 1 つ存在する。$P(m)$ を $m$ の式で求めよ。

${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6$ の斉次座標を $[w_0:\cdots :w_6]$ とし、有理写像
$$\phi :{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2⇢{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6,[x:y:z]\mapsto [x^{2}y:x^{2}z:x{y}^2:xyz:x{z}^2:y^{2}z:y{z}^2]$$
を考える（$x,y,z$ の $3$ 次単項式のうち $x^3,y^3,z^3$ 以外の $7$ 個を並べたもの）。$\phi$ が定義される点全体の像の（ザリスキー位相での）閉包を $X\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6$ とし、$X$ に被約な閉部分スキームの構造を入れる。$I_X\subset S=\mathbb{C}[w_0,\dots ,w_6]$ を $X$ の斉次イデアルとするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(n)$（$n$ が十分大きい整数のとき ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I_X{)}_n$ と一致する $n$ の多項式）を求めよ。

${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ の点を $([s_0:s_1],[u_0:u_1])$ と書く。$s_0,s_1$ について $2$ 次、$u_0,u_1$ について $3$ 次の単項式
$$s_0^a{s}_1^{2-a}{u}_0^b{u}_1^{3-b}(0\le a\le 2,0\le b\le 3)$$
は全部で $12$ 個ある。これらを（適当な順に並べて）斉次座標とする写像
$$\phi :{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^{11}$$
の像を $X$ とする（$X$ は射影多様体である）。$X$ の斉次イデアルを $I(X)\subset S=\mathbb{C}[z_0,\dots ,z_{11}]$（各 $z_i$ の次数は $1$）とするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$、すなわち十分大きい整数 $t$ に対して ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I(X){)}_t$ と一致する $t$ の多項式を求めよ。

複素数体 $\mathbb{C}$ 上で考える。$V={\mathbb{C}}^6$ とし、$V$ の $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G=G(2,6)$ を、プリュッカー埋め込みにより $G\subset \mathbb{P}({\bigwedge }^{2}V)\cong {\mathbb{P}}^{14}$ とみなす。$\Lambda \subset {\mathbb{P}}^{14}$ を一般の余次元 $5$ の線形部分空間（$\Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$）とし、$X=G\cap \Lambda$（スキーム論的交わり）とおく。

次の事実を用いてよい。
- $G$ の斉次座標環 $S_G=\mathbb{C}[p_{ij}]/I_G$ は次元 $9$ の Cohen–Macaulay 整域である。
- $t\ge 0$ に対し、$S_G$ の $t$ 次部分 $(S_G{)}_t$ は ${\mathrm{GL}}_6(\mathbb{C})$ の表現として、ヤング図形 $\lambda =(t,t)$（長さ $t$ の行が $2$ 本）に対応する既約表現と同じ次元をもつ。

$X\subset \Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$ を求めよ。

$k$ を体、$n$ を正の整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を各 $x_i$ の次数を $1$ とする次数付き多項式環とする。$S$ の斉次イデアル $J$ に対し、$M=S/J$ の次数 $t$ の部分を $M_t$ とし（$t<0$ のとき $M_t=0$）、ヒルベルト関数を $H_{S/J}(t)={\dim }_k{M}_t$ $(t\in \mathbb{Z})$ と定める。また、十分大きいすべての整数 $t$ で $H_{S/J}(t)=P(t)$ となる有理数係数多項式 $P$ をヒルベルト多項式とよび、$P_{S/J}$ と書く。

$r$ を $1\le r\le n$ をみたす整数、$f_1,\dots ,f_r\in S$ をそれぞれ次数 $d_1,\dots ,d_r$（いずれも正の整数）の斉次多項式とし、$J_0=0$, $J_i=(f_1,\dots ,f_i)$ $(1\le i\le r)$ とおく。各 $i=1,\dots ,r$ について $f_i$ が $S/J_{i-1}$ 上の非零因子である（すなわち $g\in S$, $g{f}_i\in J_{i-1}$ ならば $g\in J_{i-1}$）と仮定する。

このとき、ヒルベルト多項式 $P_{S/J_r}$ の次数はちょうど $n-r$ であり、その最高次の係数は
$$\frac{d_1{d}_2\cdots d_r}{(n-r)!}$$
であることを証明せよ。

ただし、$S$ の斉次イデアル $J$ に対してヒルベルト多項式 $P_{S/J}$ が存在すること、および $t\ge 0$ のとき ${\dim }_k{S}_t=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{t+n}{n}\right)$ であることは用いてよい。

$k$ を代数的閉体とし、多項式環 $S=k[x,y,z,w]$ を各変数の次数を $1$ とする次数付き環とみなす。行列 $$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\\ y& z& w\end{array}\right)$$ の $2$ 次小行列式で生成される斉次イデアル $$I=(xz-y^2,xw-yz,yw-z^2)$$ を考える（$I$ は ${\mathbb{P}}^3$ の捩れ三次曲線の斉次イデアルである）。次数付き環 $A=S/I^2$ のヒルベルト関数を $H_A(n)={\dim }_k{A}_n$ とするとき、十分大きなすべての整数 $n$ に対して $H_A(n)=P_A(n)$ をみたす多項式 $P_A(n)$（ヒルベルト多項式）を求めよ。