代数幾何の問題

多項式環 $T=\mathbb{C}[s_0,s_1,u_0,u_1]$ を考え、環準同型
$$\psi :S\to T,z_i\mapsto (\text{対応する単項式 }{s}_0^a{s}_1^{2-a}{u}_0^b{u}_1^{3-b})$$
を定める。$S$ の斉次多項式 $G$ が $X$ 上で $0$ になることと、$\psi (G)$ が ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ のすべての点で $0$、すなわち $\psi (G)=0$ であることは同値である。よって $I(X)=\ker \psi$ であり、
$$S/I(X)\cong \psi (S)=\underset{t\ge 0}{⨁}\psi (S_t).$$

$\psi (S_t)$ を求める。 $\psi (S_t)$ は、$12$ 個の単項式から重複を許して $t$ 個選んだ積で張られ、それらはすべて $s$ について $2t$ 次、$u$ について $3t$ 次（双次数 $(2t,3t)$）の単項式である。逆に、双次数 $(2t,3t)$ の任意の単項式 $s_0^{\alpha }{s}_1^{2t-\alpha }{u}_0^{\beta }{u}_1^{3t-\beta }$ は、$s$ の部分を次数 $2$ の単項式 $t$ 個の積に、$u$ の部分を次数 $3$ の単項式 $t$ 個の積に分けられる（例えば $\alpha =2q+r$, $0\le r\le 1$ と書き、$s_0^2$ を $q$ 個、$s_0^r{s}_1^{2-r}$ を $1$ 個（$r=1$ のとき）、残りを $s_1^2$ とすればよい。$u$ も同様）。したがってこれは $12$ 個の単項式の $t$ 個の積になる。よって $\psi (S_t)$ は双次数 $(2t,3t)$ の単項式全体で張られ、
$${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I(X){)}_t=\dim \psi (S_t)=(2t+1)(3t+1)(t\ge 0).$$
（$s_0,s_1$ の $2t$ 次単項式は $2t+1$ 個、$u_0,u_1$ の $3t$ 次単項式は $3t+1$ 個。）

これはすべての $t\ge 0$ で多項式に一致するので、ヒルベルト多項式は
$$P_X(t)=(2t+1)(3t+1)=6t^2+5t+1.$$

（参考: 最高次の係数 $6=\frac{\mathrm{deg}X}{2!}$ より $X$ は次数 $12$ の曲面である。これは直線束 $\mathcal{O}(2,3)$ の自己交点数 $2\cdot 2\cdot 3=12$ と一致する。定数項 $1$ は $\chi ({\mathcal{O}}_X)=1$ に対応する。）

$\phi$ は $\mathcal{O}(2,3)$ の完備線形系（$H^0({\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1,\mathcal{O}(2,3))$ の基底が 12 個の単項式）による埋め込み（Segre-Veronese 埋め込み）であり、${\phi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^{11}}(1)=\mathcal{O}(2,3)$。像 $X\cong {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ は射影正規（完備線形系による埋め込みで、${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 上の $\mathcal{O}(a,b)$ 型の切断環が積で生成されるため、${\mathrm{Sym}}^t{H}^0(\mathcal{O}(2,3))\to H^0(\mathcal{O}(2t,3t))$ は全射）。したがって $(S/I(X){)}_t\cong H^0(\mathcal{O}(2t,3t))$ であり、
$$\dim (S/I(X){)}_t=h^0({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O}(2t))\cdot h^0({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O}(3t))=(2t+1)(3t+1)=6t^2+5t+1.$$
（全射性の確認: ${\mathrm{Sym}}^t$ の像は $s$ について $2$ 次、$u$ について $3$ 次の単項式の $t$ 個の積全体の張る空間で、これは次数 $(2t,3t)$ の単項式すべてを含む。実際、$s_0^p{s}_1^{2t-p}$ は $2$ 次単項式の積として $t$ 個の $(a_i)$ で $\sum a_i=p$, $0\le a_i\le 2$ と書け、$u$ 側も $\sum b_i=q$, $0\le b_i\le 3$ と独立に選べる。）
検算: $t=1$ で $(2+1)(3+1)=12$ は座標の個数と一致。$t=0$ で $1$。次数は $2\cdot (2\cdot 3)=12$ で主係数 $6=12/2!$ と一致（$\mathrm{deg}X=(2H_1+3H_2{)}^2=2\cdot 2\cdot 3=12$）。
答え: $P_X(t)=6t^2+5t+1$。