代数幾何

${\mathbb{F}}_{11}$ を元の個数 $11$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_{11}$ 上のアフィン平面曲線
$$C_0:xy=3$$
を考え、その射影閉包を $C\subset {\mathbb{P}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$、アフィン平面は $Z\ne 0$ の部分 $x=X/Z,y=Y/Z$ と同一視する）とする。$C$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{11})$ を求めよ。

$S=\mathbb{C}[x,y,z]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標環とみなす。$4$ 次斉次多項式 $F=x^4+y^4+z^4$ が定める平面曲線 $C:F=0$ の斉次座標環 $S/(F)$ を考え、整数 $t\ge 0$ に対して $h(t)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/(F){)}_t$ とおく（$(S/(F){)}_t$ は次数 $t$ の部分）。十分大きいすべての整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ をみたす $t$ の多項式 $P(t)$（$C$ のヒルベルト多項式）を求めよ。

複素アフィン平面 ${\mathbb{C}}^2$（座標 $(x,y)$）内の曲線
$$C:f(x,y)=y^2-x^3+3x-2=0$$
を考える。$C$ は ${\mathbb{C}}^2$ 内にちょうど $1$ つの特異点 $P$ をもつ。$P$ における $C$ の接線（接錐を $1$ 次式の積に分解したときの各直線）はすべて $y=k(x-a)+b$ の形に書ける（$P=(a,b)$）。このときの傾き $k$ の値をすべて求めよ。

${\mathbb{F}}_7=\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ を元の個数 $7$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の曲線
$$E:y^2=x^3+x+3$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）であることを用いてよい。$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z=X^3+X{Z}^2+3Z^3$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点の個数 $\#E({\mathbb{F}}_7)$（無限遠点を含む）を求めよ。

${\mathbb{F}}_{11}=\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ を元の個数 $11$ の有限体とし、その元を代表元 $0,1,\dots ,10$ で表す。$a\in {\mathbb{F}}_{11}$ に対し、${\mathbb{F}}_{11}$ 上の曲線
$$E_a:y^2=x^3+ax+2$$
を考える。$E_a$ が非特異でない（したがって楕円曲線にならない）ような $a$ をすべて求めよ。答えは代表元 $0\le a\le 10$ の集合で答えよ。

有限体 ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線 $$E:y^2=x^3-4x$$ を考える。$E$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点全体 $E({\mathbb{F}}_{11})$（無限遠点 $O$ を含む）は、点の加法によりアーベル群をなし、その位数は $\#E({\mathbb{F}}_{11})=12$ であることが知られている。$E({\mathbb{F}}_{11})$ の元のうち、位数がちょうど $6$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線 $$E:y^2=x^3+x+3$$ を考え、$E({\mathbb{F}}_q)$ を $E$ の射影閉包の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を $1$ 個含む）とする。$\#E({\mathbb{F}}_7)=6$ であることがわかっている。このとき $\#E({\mathbb{F}}_{7^3})$ を求めよ。

複素アフィン平面 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^2$（座標 $(x,y)$）内の 2 つの曲線 $$f=y^2-x^3=0,g=y-x^2=0$$ を考える。原点 $P=(0,0)$ における局所交点数 $$I_P(f,g)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_P/(f,g)$$ を求めよ。ただし ${\mathcal{O}}_P$ は ${\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^2$ の点 $P$ における局所環（$\mathbb{C}[x,y]$ の極大イデアル $(x,y)$ での局所化）とする。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線 $$E:y^2=x^3-x$$ を考え、$E({\mathbb{F}}_q)$ を $E$ の射影閉包の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を単位元とするアーベル群）とする。$\#E({\mathbb{F}}_7)=8$ であることがわかっている。$E({\mathbb{F}}_{49})$ の元のうち、位数がちょうど $8$ であるものの個数を求めよ。

$p=233$ とする（$p$ は素数である）。有限体 ${\mathbb{F}}_p$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3-x$$
について、無限遠点 $O$ を含めた ${\mathbb{F}}_p$ 有理点の個数 $\#E({\mathbb{F}}_p)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上のアフィン曲線
$$y^2=x^5-x+1$$
の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$N_k=\#C({\mathbb{F}}_{3^k})$ とおくと、
$$N_1=7,N_2=15$$
であることがわかっている。このとき $N_3=\#C({\mathbb{F}}_{27})$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $2$ 次曲線 $Q$ と $3$ 次曲線 $D$ を
$$Q:YZ-X^2=0,D:Y{Z}^2-X^3=0$$
で定める。$Q$ と $D$ の無限遠点 $P_{\infty }=[0:1:0]$ における局所交点数 $I_{P_{\infty }}(Q,D)$ を求めよ。

複素数体 $\mathbb{C}$ 上で考える。${\mathbb{P}}^1$ の斉次座標を $[s_0:s_1]$、${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[x_0:x_1:x_2]$ とする。$s_i$ について $1$ 次かつ $x_j$ について $2$ 次の単項式 $s_i{x}_j{x}_k$（$i\in \{0,1\}$、$x_j{x}_k$ は $x_0,x_1,x_2$ の $2$ 次単項式）は全部で $2\times 6=12$ 個ある。これらをすべて並べた写像
$$\phi :{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^{11},([s_0:s_1],[x_0:x_1:x_2])\mapsto [s_0{x}_0^2:s_0{x}_0{x}_1:\cdots :s_1{x}_2^2]$$
（直線束 $\mathcal{O}(1,2)$ による埋め込み）の像を $X=\phi ({\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2)\subset {\mathbb{P}}^{11}$ とする。$X$ は $3$ 次元の射影多様体である。$X$ の次数 $\mathrm{deg}X$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ 内の既約な $5$ 次曲線 $C$ がある。$C$ の特異点はちょうど $3$ 個で、そのうち $2$ 個は通常 $2$ 重点（ノード）、残りの $1$ 個は通常カスプである。$C$ の幾何種数 $g$ を求めよ。

$a\in {\mathbb{F}}_7$ に対し、${\mathbb{F}}_7$ 上の曲線
$$E_a:y^2=x^3+x+a$$
を考える。$E_a$ が非特異（楕円曲線）であり、かつ $E_a$ の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点の個数 $\#E_a({\mathbb{F}}_7)$（無限遠点を含める）が偶数となるような $a\in {\mathbb{F}}_7$ の個数を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の 2 つの 3 次曲線
$$C:Y^{2}Z-X^3=0,D:Y^{2}Z-X^3+X^{2}Y=0$$
を考える。$C$ と $D$ の点 $O=[0:0:1]$ における交点数（局所交叉重複度）$I_O(C,D)$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線
$$C:Y^2{Z}^3=X(X-Z{)}^2(X+Z)(X-2Z)$$
を考える。$C$ は既約である。$C$ の幾何種数（$C$ の正規化であるコンパクトリーマン面の種数）を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上の曲線
$$E:y^2=x^3-x+1$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）である。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z=X^3-X{Z}^2+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）とする。$E({\mathbb{F}}_{27})$ の元の個数を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線
$$C:Y^2{Z}^3=X^5-X{Z}^4$$
を考える（$C$ は既約である）。点 $P=[0:1:0]$ は $C$ の特異点である。$P$ における $C$ の $\delta$ 不変量
$${\delta }_P={\dim }_{\mathbb{C}}({\tilde{\mathcal{O}}}_{C,P}/{\mathcal{O}}_{C,P})$$
を求めよ。ただし ${\tilde{\mathcal{O}}}_{C,P}$ は局所環 ${\mathcal{O}}_{C,P}$ の（全商環の中での）整閉包である。

$S=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とし、
$$Q_1=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,Q_2=x_0^2+2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+5x_4^2$$
とおく。$I=(Q_1,Q_2)\subset S$ とし、$X=V(I)\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^4$ とする。次数つき環 $S/I$ の次数 $t$ の斉次部分の $\mathbb{C}$ 上の次元を $h(t)$ とするとき、十分大きい整数 $t$ で $h(t)=P(t)$ となる多項式 $P(t)$（$X$ のヒルベルト多項式）を求めよ。ただし $Q_1,Q_2$ は $S$ の正則列をなす（$X$ は完全交差である）ことを用いてよい。

$q$ を素数べきとし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。射影空間 ${\mathbb{P}}^3$ の 2 次曲面
$$Q:XW=YZ$$
の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点の集合を
$$Q({\mathbb{F}}_q)=\{[X:Y:Z:W]\in {\mathbb{P}}^3({\mathbb{F}}_q)\mid XW=YZ\}$$
と定める。ここで ${\mathbb{P}}^3({\mathbb{F}}_q)$ は、${\mathbb{F}}_q^4\setminus \{0\}$ を「$0$ でない $\lambda \in {\mathbb{F}}_q$ によって $v\sim \lambda v$」という同値関係で割った集合である。このとき
$$\#Q({\mathbb{F}}_q)=(q+1{)}^2$$
であることを証明せよ。ただし、$Q$ と ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ の同型（セグレ埋め込み）は用いず、方程式の解を直接数えること。

$k$ を体、$n\ge 1$ を整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を通常の次数付けをもつ多項式環、$S_m$ を $m$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする（$m<0$ なら $S_m=0$）。$F\in S$ を次数 $d\ge 1$ の $0$ でない斉次多項式とし、$I=(F)$ を $F$ が生成するイデアル、$I_m=I\cap S_m$ とおく。$R=S/I$ の $m$ 次部分の次元を $h(m)={\dim }_k{S}_m-{\dim }_k{I}_m$ と定める。

このとき、$m\ge d$ をみたすすべての整数 $m$ について
$$h(m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{n}\right)$$
が成り立ち、さらに右辺は $m$ の多項式として次数 $n-1$、最高次の係数 $\frac{d}{(n-1)!}$ をもつことを証明せよ。ただし ${\dim }_k{S}_m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)$（$m\ge 0$）は用いてよい。

$p$ を $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ をみたす素数とし、$F(X,Y)\in {\mathbb{F}}_p[X,Y]$ を 3 次斉次多項式または零多項式とする。射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の曲線
$$C:Z^3=F(X,Y)$$
の ${\mathbb{F}}_p$ 有理点の集合を
$$C({\mathbb{F}}_p)=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_p)\mid Z^3=F(X,Y)\}$$
と定める（両辺はともに 3 次斉次なので、この条件は斉次座標の取り方によらない）。このとき、$F$ の取り方によらず
$$\#C({\mathbb{F}}_p)=p+1$$
であることを証明せよ。ただし、有限群の元の位数は群の位数を割り切ること（ラグランジュの定理）は用いてよい。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の曲線
$$E:y^2+xy=x^3+1$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）であることを用いてよい。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z+XYZ=X^3+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体とする（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）。$\#E({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を
$$C:Y^3{Z}^2-X^5=0,D:X^4-Y^2{Z}^2+XY{Z}^2=0$$
で定める。$C$ は既約であることを用いてよい。点 $p$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_p(C,D)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2,p}/(f,g)$（$f,g$ は $p$ の近くでの $C,D$ の局所方程式）で定める。$O=[0:0:1]$、$P=[0:1:0]$ とするとき、
$$(I_O(C,D),I_P(C,D),N)$$
をこの順に組で求めよ。ただし $N$ は $C\cap D$ のうち $O,P$ 以外の点の個数（相異なる点の個数）である。

$S=\mathbb{C}[z_{00},z_{01},z_{02},z_{10},z_{11},z_{12}]$ を通常の次数づけ（各変数の次数 $1$）をもつ多項式環とし、${\mathbb{P}}^5$ の斉次座標環とみなす。$I_X\subset S$ を行列
$$\left(\begin{array}{ccc}{z}_{00}& z_{01}& z_{02}\\ z_{10}& z_{11}& z_{12}\end{array}\right)$$
の $2$ 次小行列式全体で生成されるイデアルとする。$I_X$ はセグレ埋め込み ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$，$([x_0:x_1],[y_0:y_1:y_2])\mapsto [z_{ij}]=[x_i{y}_j]$ の像 $X$ の斉次素イデアルであり，$S/I_X$ の次数 $d$ 部分は $x$ について $d$ 次かつ $y$ について $d$ 次の双斉次多項式全体の空間と同型である（この事実は用いてよい）。

さらに
$$Q=z_{00}^2+z_{11}^2+z_{12}^2$$
とおき，$J=I_X+(Q)$ とする。次数付き $S$ 加群 $S/J$ のヒルベルト多項式 $P(t)$（すなわち十分大きな整数 $d$ に対して $P(d)={\dim }_{\mathbb{C}}(S/J{)}_d$ をみたす $t$ の多項式）を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+x+1$$
を考える。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点（無限遠点 $O$ を含む）全体とする。$E({\mathbb{F}}_{125})$ の元の個数 $\#E({\mathbb{F}}_{5^3})$ を求めよ。

$a\in {\mathbb{F}}_7^{\times }$ に対し、${\mathbb{F}}_7$ 上の楕円曲線
$$E_a:y^2=x^3+a$$
を考える。$N_a$ を $E_a$ の ${\mathbb{F}}_7$ 有理点の個数（無限遠点 $O$ を含める）とする。$a$ が ${\mathbb{F}}_7^{\times }$ 全体を動くとき、$N_a$ のとりうる値をすべて求めよ。

$p=1009$ とする（$p$ は素数である）。有限体 ${\mathbb{F}}_p$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3-x$$
について、$E$ の ${\mathbb{F}}_p$ 有理点全体 $E({\mathbb{F}}_p)$ の個数（無限遠点 $O$ を含む）を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_{11}$ 上の楕円曲線
$$E:y^2=x^3+1$$
を考え、$E({\mathbb{F}}_{121})$ を $E$ の ${\mathbb{F}}_{121}$ 有理点全体（無限遠点 $O$ を含む）のなす群とする（群演算は $O$ を単位元とする通常の加法）。$E({\mathbb{F}}_{121})$ の元のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。

$R=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]$ を通常の次数づけ（各 $x_i$ の次数 $1$）をもつ多項式環とする。$F\in R$ を既約な $2$ 次斉次多項式、$G\in R$ を $F$ で割り切れない $3$ 次斉次多項式とし、次数つき環 $S=R/(F,G)$ を考える。整数 $m\ge 0$ に対して $h_S(m)={\dim }_{\mathbb{C}}{S}_m$（$S_m$ は $S$ の次数 $m$ の斉次成分）とおくと、十分大きいすべての $m$ に対して $h_S(m)=P(m)$ となる多項式 $P$（$S$ のヒルベルト多項式）がただ 1 つ存在する。$P(m)$ を $m$ の式で求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の射影平面曲線
$$C:X^3+Y^3+Z^3=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考え、${\mathbb{F}}_7$ の拡大体 ${\mathbb{F}}_{7^n}$ に対して $N_n$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{7^n}$ 有理点（射影平面の点 $[X:Y:Z]$ で座標を ${\mathbb{F}}_{7^n}$ にとれるもの）の個数とする。$N_3$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5-x$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分に含まれないもの（無限遠点）はちょうど $1$ 個で、それは ${\mathbb{F}}_3$ 有理点である。${\mathbb{F}}_3$ を含む有限体 ${\mathbb{F}}_{3^k}$ に対し、$N_k=\#C({\mathbb{F}}_{3^k})$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{3^k}$ 有理点の個数（無限遠点を含む）とする。$N_4=\#C({\mathbb{F}}_{81})$ を求めよ。

${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の斉次座標を $[x:y:z]$、${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6$ の斉次座標を $[w_0:\cdots :w_6]$ とし、有理写像
$$\phi :{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2⇢{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6,[x:y:z]\mapsto [x^{2}y:x^{2}z:x{y}^2:xyz:x{z}^2:y^{2}z:y{z}^2]$$
を考える（$x,y,z$ の $3$ 次単項式のうち $x^3,y^3,z^3$ 以外の $7$ 個を並べたもの）。$\phi$ が定義される点全体の像の（ザリスキー位相での）閉包を $X\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^6$ とし、$X$ に被約な閉部分スキームの構造を入れる。$I_X\subset S=\mathbb{C}[w_0,\dots ,w_6]$ を $X$ の斉次イデアルとするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(n)$（$n$ が十分大きい整数のとき ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I_X{)}_n$ と一致する $n$ の多項式）を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線
$$C:X^2{Y}^3+Y^2{Z}^3+Z^2{X}^3=0$$
を考える。$C$ は既約であることを用いてよい。$C$ の幾何種数（$C$ の正規化である非特異射影曲線の種数）を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $3$ 次曲線 $C$ と $5$ 次曲線 $D$ を
$$C:Y^{2}Z-X^{2}Z-X^3=0,D:Y^2{Z}^3-X^{4}Z-X^5=0$$
で定める。3 点
$$O=[0:0:1],P=[-1:0:1],Q=[0:1:0]$$
はいずれも $C\cap D$ に属する。点 $R$ における $C$ と $D$ の交点数（局所交叉重複度）を $I_R(C,D)$ と書くとき、
$$(I_O(C,D),I_P(C,D),I_Q(C,D))$$
をこの順に並べた組として求めよ。

${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ の点を $([s_0:s_1],[u_0:u_1])$ と書く。$s_0,s_1$ について $2$ 次、$u_0,u_1$ について $3$ 次の単項式
$$s_0^a{s}_1^{2-a}{u}_0^b{u}_1^{3-b}(0\le a\le 2,0\le b\le 3)$$
は全部で $12$ 個ある。これらを（適当な順に並べて）斉次座標とする写像
$$\phi :{\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^{11}$$
の像を $X$ とする（$X$ は射影多様体である）。$X$ の斉次イデアルを $I(X)\subset S=\mathbb{C}[z_0,\dots ,z_{11}]$（各 $z_i$ の次数は $1$）とするとき、$X$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$、すなわち十分大きい整数 $t$ に対して ${\dim }_{\mathbb{C}}(S/I(X){)}_t$ と一致する $t$ の多項式を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $3$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を $$C:Y^{2}Z-X^3=0,D:X^4-XY{Z}^2=0$$ で定める。$P=[0:0:1]$, $Q=[0:1:0]$ とおくと、$P,Q$ はともに $C\cap D$ に属する。点 $R$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_R(C,D)$ と書く。$I_P(C,D)$ と $I_Q(C,D)$ をこの順に組 $(I_P(C,D),I_Q(C,D))$ として求めよ。

$k$ を体（代数閉体とは限らない）とし、整数 $d\ge 0$ に対して $S_d$ を $k[X,Y,Z]$ の $d$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする。$S_d$ は単項式 $X^a{Y}^b{Z}^c$（$a,b,c\ge 0$, $a+b+c=d$）を基底にもち、${\dim }_k{S}_d=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)$ であることは用いてよい。

斉次多項式 $F$ と点 $P\in {\mathbb{P}}^2(k)$ について、$P$ の斉次座標の代表 $p\in k^3\setminus \{0\}$ をとって $F(p)=0$ となるとき「$F$ は $P$ を通る」といい、$F(P)=0$ と書く（この条件は代表の取り方によらない）。$F(P)\ne 0$ はこの否定を表す。

整数 $n$ は $1\le n\le d+1$ をみたすとし、$P_1,\dots ,P_n\in {\mathbb{P}}^2(k)$ を互いに相異なる $n$ 点とする。
$$I=\{F\in S_d\mid F(P_1)=\cdots =F(P_n)=0\}$$
とおくとき、$I$ は $S_d$ の部分空間であって
$${\dim }_{k}I=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)-n$$
であることを証明せよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $8$ 次曲線
$$C:Y^3{Z}^5=(X^4-Z^4{)}^2$$
を考える。$C$ は既約であることを用いてよい。$C$ の特異点の個数を $s$、$C$ の幾何種数（正規化の種数）を $g$ とするとき、組 $(s,g)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分 $y^2=x^5+1$ に含まれないもの（無限遠点）はただ $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 上定義されている。$C({\mathbb{F}}_q)$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体の集合とするとき、$\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線 $C$ と、複素数 $t$ をパラメータとする $3$ 次曲線 $D_t$ を
$$C:Y^2{Z}^3-X^{4}Z-X^5=0,D_t:Y{Z}^2-X^{2}Z-t{X}^3=0$$
で定める。ただし $t\ne 0,t\ne \frac{1}{2}$ とする。点 $O=[0:0:1]$、$P=[0:1:0]$ における $C$ と $D_t$ の局所交点数をそれぞれ $I_O(C,D_t)$、$I_P(C,D_t)$ とする。組 $(I_O(C,D_t),I_P(C,D_t))$ をこの順に求めよ。

複素数体 $\mathbb{C}$ 上で考える。$V={\mathbb{C}}^6$ とし、$V$ の $2$ 次元部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G=G(2,6)$ を、プリュッカー埋め込みにより $G\subset \mathbb{P}({\bigwedge }^{2}V)\cong {\mathbb{P}}^{14}$ とみなす。$\Lambda \subset {\mathbb{P}}^{14}$ を一般の余次元 $5$ の線形部分空間（$\Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$）とし、$X=G\cap \Lambda$（スキーム論的交わり）とおく。

次の事実を用いてよい。
- $G$ の斉次座標環 $S_G=\mathbb{C}[p_{ij}]/I_G$ は次元 $9$ の Cohen–Macaulay 整域である。
- $t\ge 0$ に対し、$S_G$ の $t$ 次部分 $(S_G{)}_t$ は ${\mathrm{GL}}_6(\mathbb{C})$ の表現として、ヤング図形 $\lambda =(t,t)$（長さ $t$ の行が $2$ 本）に対応する既約表現と同じ次元をもつ。

$X\subset \Lambda \cong {\mathbb{P}}^9$ のヒルベルト多項式 $P_X(t)$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $7$ 次曲線 $C$ と $6$ 次曲線 $D$ を
$$C:Z(Y^{2}Z-X^3{)}^2-4X^{5}YZ-X^7=0,D:(Y^{2}Z-X^3{)}^2-4X^{5}Y=0$$
で定める。点 $P=[0:0:1]$ における $C$ と $D$ の局所交点数 $I_P(C,D)$ を求めよ。ただし、$P$ のアフィン近傍 $Z\ne 0$ で $C,D$ の定義式を $f(x,y),g(x,y)$（$x=X/Z$, $y=Y/Z$）とするとき、$I_P(C,D)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_P/(f,g)$（${\mathcal{O}}_P$ は $P$ における ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の局所環）とする。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の射影平面曲線
$$C:X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考える。$C$ は ${\overline{\mathbb{F}}}_2$ 上で非特異な $4$ 次曲線である（したがって種数は $3$）。正の整数 $k$ に対し、$N_k$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{2^k}$ 有理点（${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{2^k})$ の点で $C$ 上にあるもの）の個数とする。$N_6=\#C({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分に含まれないもの（無限遠点）はちょうど $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 有理点である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{7^4}$ 有理点（無限遠点を含む）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。

$F\in \mathbb{C}[X,Y,Z]$ を次数 $5$ の既約な斉次多項式とし、$C=V(F)\subset {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ をそれが定める射影平面曲線とする。点 $P\in {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ における斉次多項式 $G$ の重複度を $m_P(G)$ と書き、$m_P(F)\ge 2$ となる点を $C$ の特異点という。

$C$ が $m_P(F)\ge 3$ となる点 $P$ をもつとき、$P$ 以外の $C$ の特異点は高々 $3$ 個であることを証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい。
- (a)（ベズーの定理）次数 $d,e$ の $0$ でない斉次多項式 $F,G$ が共通成分（定数でない共通因子）をもたないとき、交点数 $I_Q(F,G)$ は各点で $0$ 以上の整数で、${\sum }_{Q\in {\mathbb{P}}^2}{I}_Q(F,G)=de$ が成り立ち、さらに各点で $I_Q(F,G)\ge m_Q(F)m_Q(G)$ が成り立つ。
- (b) $0$ でない斉次多項式 $G$ について、$m_Q(G)\ge 1$ であることと $G(Q)=0$ であることは同値である。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の射影平面曲線
$$C:X^4+Y^4+2Z^4=0(\subset {\mathbb{P}}^2,\text{斉次座標 }[X:Y:Z])$$
を考える。$C$ は非特異であり、種数は $3$ である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{125}$ 有理点（斉次座標をすべて ${\mathbb{F}}_{125}$ の元に取れる $C$ 上の点）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{125})$ を求めよ。