代数幾何の問題

アフィン座標 $x=X/Z$, $y=Y/Z$ をとると、$O$ は原点で
$$f=y^2-x^3,g=y^2-x^3+x^{2}y.$$
交点数は $I_O(f,g)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_O/(f,g)$（${\mathcal{O}}_O$ は原点での局所環）で、次の性質をもつ:
- $I_O(f,g)=I_O(f,g+hf)$（$h$ は任意の多項式）
- $I_O(f,gh)=I_O(f,g)+I_O(f,h)$
- 原点で横断的に交わる 2 直線などの基本的な値。

計算. $g-f=x^{2}y$ なので
$$I_O(f,g)=I_O(f,x^{2}y)=2I_O(f,x)+I_O(f,y).$$
ここで
$$I_O(y^2-x^3,x)=I_O(y^2,x)=2,I_O(y^2-x^3,y)=I_O(x^3,y)=3$$
（$x$ を法として $f\equiv y^2$、$y$ を法として $f\equiv -x^3$）。よって
$$I_O(C,D)=2\cdot 2+3=7.$$

別解（パラメータ表示）. $C$ は原点で 1 つの分枝をもち、$t\mapsto (t^2,t^3)$ と正規化される。このとき
$$g(t^2,t^3)=t^6-t^6+t^4\cdot t^3=t^7$$
なので $I_O={\mathrm{ord}}_{t}g(t^2,t^3)=7$。

ベズーの定理による確認. $C\cap D$ を求めると、$D-C$ は $X^{2}Y=0$ なので、交点は $X=0$ または $Y=0$ の上にある。$X=0$ なら $C$ から $Y^{2}Z=0$、$Y=0$ なら $X^3=0$。よって交点は $O=[0:0:1]$ と $P=[0:1:0]$ のみ。$P$ の近くで $Y=1$ とすると $C:Z=X^3$（非特異）、$D:Z-X^3+X^2=0$ で、$C$ 上で $D$ の式は $X^2$ となり $I_P=2$。ベズーの定理より合計は $3\cdot 3=9$ で、$7+2=9$ と一致する。

$Z=1$ のアフィン座標 $(x,y)$ で考える。$f=y^2-x^3$, $g=y^2-x^3+x^{2}y$ とおく。交点数は $I_O(f,g)=I_O(f,g-f)$ が成り立つ（イデアル $(f,g)=(f,g-f)$）ので、$g-f=x^{2}y$ より $I_O(f,g)=I_O(f,x^{2}y)=2I_O(f,x)+I_O(f,y)$。
- $I_O(f,x)$: $x=0$ のとき $f=y^2$ なので $\dim \mathbb{C}[[x,y]]/(f,x)=\dim \mathbb{C}[y]/(y^2)=2$。
- $I_O(f,y)$: $y=0$ のとき $f=-x^3$ なので $\dim \mathbb{C}[x]/(x^3)=3$。
よって $I_O(C,D)=2\cdot 2+3=7$。
検算: $C$ のパラメータ表示 $x=t^2,y=t^3$ を $g$ に代入すると $g=t^6-t^6+t^4\cdot t^3=t^7$ となり、$t$ の位数は 7。$C$ は $O$ で単分岐（既約）なので交点数は 7 で一致する。