代数幾何の問題

方針. ベズーの定理により、共通成分をもたない次数 $2$ と $3$ の曲線の交点数の合計は $2\cdot 3=6$ である。アフィン部分の交点での局所交点数を求め、$6$ から引けば $P_{\infty }$ での局所交点数がわかる。

手順 1（共通成分がないこと）. $YZ-X^2$ は既約な $2$ 次式（非退化な円錐曲線）であり、$Y{Z}^2-X^3$ はその倍数ではない（次数 $3$ の倍数なら $YZ-X^2$ に $1$ 次式を掛けた形になるが、$Y{Z}^2-X^3$ は $YZ-X^2$ で割り切れない。たとえば $Y=X^2/Z$ を代入すると $XZ\cdot X-X^3=X^{2}Z-X^3\ne 0$）。よって共通成分はなく、
$$\sum _P{I}_P(Q,D)=2\cdot 3=6.$$

手順 2（交点を求める）.
- アフィン部分 $Z=1$: $y=x^2$ と $y=x^3$ から $x^2=x^3$、すなわち $x^2(x-1)=0$。よって交点は $(0,0)$ と $(1,1)$。
- 無限遠直線 $Z=0$: $Q$ から $X^2=0$、$D$ から $X^3=0$ なので $X=0$、交点は $[0:1:0]=P_{\infty }$ のみ。

手順 3（アフィン部分の局所交点数）.
- 点 $(1,1)$: $y-x^2$ の接線の傾きは $2x=2$、$y-x^3$ の接線の傾きは $3x^2=3$ で、どちらも非特異で接線が異なる。よって $I_{(1,1)}=1\cdot 1=1$。
- 点 $(0,0)$: $I(y-x^2,y-x^3)=I(y-x^2,(y-x^3)-(y-x^2))=I(y-x^2,x^2(1-x))$。$1-x$ は原点で単元なので除けて、加法性から
$$I_{(0,0)}=2I(y-x^2,x)=2I(y,x)=2.$$

手順 4（ベズーの定理から残りを求める）.
$$I_{P_{\infty }}(Q,D)=6-1-2=3.$$

検算. $P_{\infty }$ の近くで $Y=1$ とおくと $Q:z=x^2$, $D:z^2=x^3$。$I(z-x^2,z^2-x^3)=I(z-x^2,x^4-x^3)=I(z-x^2,x^3(x-1))=3I(z-x^2,x)=3$ となり一致する。

したがって $I_{P_{\infty }}(Q,D)=3$ である。

$P_{\infty }=[0:1:0]$ を含むアフィン座標 $Y=1$ をとり、$x=X,z=Z$ とおく。$Q:z-x^2=0$、$D:z^2-x^3=0$。点 $P_{\infty }$ は $(x,z)=(0,0)$。\n\n$Q$ は滑らかで $z=x^2$ とパラメータ付けできる。これを $D$ の式に代入すると $x^4-x^3=x^3(x-1)$。$x=0$ での零点の位数は $3$。よって $I_{P_{\infty }}(Q,D)={\dim }_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[x,z{]}_{(x,z)}/(z-x^2,z^2-x^3)=\dim \mathbb{C}[x{]}_{(x)}/(x^3(x-1))=3$。\n\n検算（ベズーの定理）: 総交点数は $2\cdot 3=6$。他の交点は、$Q$ を $[t:t^2:1]$ と表すと $D$ が $t^2-t^3=0$ より $t=0$ (位数 2、点 $[0:0:1]$) と $t=1$ (位数 1、点 $[1:1:1]$)。$P_{\infty }$ の 3 と合わせて $3+2+1=6$ で一致する。