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代数幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数幾何

複素射影平面 $P_{C}^{2}$ （斉次座標 $[X : Y : Z]$ ）内の $5$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を
$C : Y^{3} Z^{2} - X^{5} = 0, D : X^{4} - Y^{2} Z^{2} + X Y Z^{2} = 0$
で定める。 $C$ は既約であることを用いてよい。点 $p$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_{p} (C, D) = dim_{C} O_{P^{2}, p} / (f, g)$ （ $f, g$ は $p$ の近くでの $C, D$ の局所方程式）で定める。 $O = [0 : 0 : 1]$ 、 $P = [0 : 1 : 0]$ とするとき、
$(I_{O} (C, D), I_{P} (C, D), N)$
をこの順に組で求めよ。ただし $N$ は $C \cap D$ のうち $O, P$ 以外の点の個数（相異なる点の個数）である。

この問題で使うもの

局所交点数（説明と入口の問題）
ベズーの定理（説明と入口の問題）
射影平面曲線と斉次化（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$C$ は原点でも $P$ でも分枝が $1$ つのカスプ型の特異点をもつ。各点で $C$ をパラメータ表示し、 $D$ の局所方程式に代入して $t$ の位数を調べよう。

ヒント 2

アフィン座標では $C$ は $(t^{3}, t^{5})$ 、 $P$ の近く（ $Y = 1$ ）では $(s^{2}, s^{5})$ とパラメータ表示できる。交点数は $D$ の局所方程式にこれらを代入したときの最低次の次数である。

ヒント 3

$g (t^{3}, t^{5}) = t^{8} (t^{4} - t^{2} + 1)$ となる。 $t \neq = 0$ の根の個数と重複度を調べ、最後にベズーの定理（総和 $20$ ）で検算せよ。

答えと解説

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(8, 8, 4)

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解説を読む

共通成分がないこと. $C$ は既約な $5$ 次曲線で $D$ は $4$ 次曲線なので $C \neq \subset D$ 、よって $C$ と $D$ は共通成分をもたず、ベズーの定理より交点数の総和は $5 \cdot 4 = 20$ である。

無限遠直線上の交点. $Z = 0$ とすると $C$ は $X^{5} = 0$ 、 $D$ は $X^{4} = 0$ となるので、 $Z = 0$ 上の交点は $P = [0 : 1 : 0]$ のみである。

$O$ での交点数. アフィン座標 $x = X / Z, y = Y / Z$ では $C : y^{3} = x^{5}$ 、 $D : g (x, y) = x^{4} - y^{2} + x y = 0$ 。 $g cd (3, 5) = 1$ なので $C$ は原点で $1$ つの分枝をもち、 $t \mapsto (t^{3}, t^{5})$ はその原始的なパラメータ表示である。よって
$I_{O} (C, D) = ord_{t} g (t^{3}, t^{5}), g (t^{3}, t^{5}) = t^{12} - t^{10} + t^{8} = t^{8} (t^{4} - t^{2} + 1)$
より $I_{O} (C, D) = 8$ 。

$P$ での交点数. $Y = 1$ のアフィン座標 $x = X / Y, z = Z / Y$ では $C : z^{2} = x^{5}$ 、 $D : h (x, z) = x^{4} - z^{2} + x z^{2} = 0$ 。 $g cd (2, 5) = 1$ より $C$ は $P$ で $1$ つの分枝をもち、 $(x, z) = (s^{2}, s^{5})$ がその原始的なパラメータ表示である。
$h (s^{2}, s^{5}) = s^{8} - s^{10} + s^{12}$
より $I_{P} (C, D) = 8$ 。

その他の交点. 残りの交点はアフィン部分の $x \neq = 0$ の点である。 $y^{3} = x^{5}, x \neq = 0$ の点は $t \neq = 0$ を用いて $(t^{3}, t^{5})$ と一意に表せる（ $(t / u)^{3} = (t / u)^{5} = 1$ なら $t = u$ ）ので、写像 $t \mapsto (t^{3}, t^{5})$ は $C^{\times}$ からこの部分への全単射である。また $x \neq = 0$ では $\partial (y^{3} - x^{5}) / \partial x = - 5 x^{4} \neq = 0$ なので $C$ はそこで非特異であり、交点数は $g (t^{3}, t^{5})$ の $t$ に関する零点の位数に等しい。
$t \neq = 0$ での条件は $t^{4} - t^{2} + 1 = 0$ 。 $u = t^{2}$ とおくと $u^{2} - u + 1 = 0$ の判別式は $- 3 \neq = 0$ なので相異なる $2$ 根 $u = e^{\pm π i /3}$ （ともに $0$ でない）をもち、それぞれから相異なる $2$ つの $t$ が得られる。よって $t^{4} - t^{2} + 1 = 0$ は相異なる $4$ 根をもち、すべて単根である。したがって $O, P$ 以外の交点は相異なる $4$ 点で、各点の交点数は $1$ 。

検算. $8 + 8 + 4 \cdot 1 = 20 = 5 \cdot 4$ となり、ベズーの定理と一致する。

以上より答えは $(8, 8, 4)$ 。

別解

$O = [0 : 0 : 1]$ での交点数は、 $Z = 1$ の局所座標 $(x, y)$ で $f = y^{3} - x^{5}$ 、 $g = x^{4} - y^{2} + x y$ として求める。 $C$ の媒介変数表示 $x = t^{3}, y = t^{5}$ は $g cd (3, 5) = 1$ より原始的である。これを $g$ に代入すると $g = t^{12} - t^{10} + t^{8} = t^{8} (t^{4} - t^{2} + 1)$ となり、 $t = 0$ での位数は $8$ 。よって $I_{O} = 8$ 。

$P = [0 : 1 : 0]$ での交点数は、 $Y = 1$ の局所座標 $(x, z)$ で $f = z^{2} - x^{5}$ 、 $g = x^{4} - z^{2} + x z^{2}$ として求める。 $C$ の媒介変数表示は $x = t^{2}, z = t^{5}$ で、これも原始的である。 $g = t^{8} - t^{10} + t^{12} = t^{8} (1 - t^{2} + t^{4})$ となり、位数は $8$ 。よって $I_{P} = 8$ 。

$O, P$ 以外の交点を調べる。 $Z = 0$ のとき $C$ の式から $X = 0$ となり、この点は $P$ である。 $Z \neq = 0$ で $Z = 1$ とおくと、 $Y = 0$ なら $X = 0$ となり $O$ である。したがって他の交点では $x, y \neq = 0$ である。このとき $C$ は $x = t^{3}, y = t^{5}$ （ $t \neq = 0$ ）と表せ、 $t = x^{2} / y$ より $t$ と点は1対1に対応する。 $g = t^{8} (t^{4} - t^{2} + 1) = 0$ から $t^{4} - t^{2} + 1 = 0$ となる。これは $t^{2} = e^{\pm iπ /3}$ なので、相異なる4根をもつ。よって $N = 4$ 。

検算：Bézout の定理より総交点数は $5 \cdot 4 = 20$ で、 $8 + 8 + 4 \cdot 1 = 20$ となり一致する。

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