ベズーの定理

共通成分をもたない次数 $d, e$ の平面曲線について $\sum_{P} I_{P} (F, G) = d e$ を使い、交点数の合計を計算できる。補助曲線（直線・円錐曲線）との交点数を評価して、特異点の個数・重複度の上限を示せる

前提

局所交点数（大学院数学代数幾何）

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算数中学高校大学大学院

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局所交点数（大学院数学代数幾何）

説明

代数閉体 $k$ （例えば $C$ ）上の射影平面で、共通成分をもたない次数 $d$ の曲線 $F$ と次数 $e$ の曲線 $G$ は、交点を局所交点数の重みで数えるとちょうど $d e$ 個で交わります： $\sum_{P} I_{P} (F, G) = d e$ 。これを使うと、交点のうちいくつかの局所交点数がわかれば残りの点での交点数が引き算で求まります。また、補助の直線や円錐曲線を曲線に当てて「交点数の合計が $d e$ を超えるなら共通成分がある」と論じることで、特異点の個数や重複度の上限を示せます。

なぜそうしてよいのか

なぜ合計が $d e$ か. まず極端な場合を考えます。 $F$ が相異なる $d$ 本の直線の積、 $G$ が相異なる $e$ 本の直線の積で、どの 3 本も 1 点を通らなければ、直線どうしは射影平面でちょうど 1 点で交わる（平行線も無限遠点で交わる）ので、交点は $d e$ 個、それぞれ交点数 1 です。一般の曲線は係数を動かしてこの状況に連続的に変形できると考えると、交点が動いて重なったときは局所交点数として重みが足し合わされ、合計は保たれます。代数的には、 $(F, G)$ で割った斉次座標環の $n$ 次部分 $k [X, Y, Z]_{n} / (F, G)_{n}$ の次元が、 $n \geq d + e$ では次元の数え上げ（ $(2 n + 2) - (2 n - d + 2) - (2 n - e + 2) + (2 n - d - e + 2) = d e$ ）で $d e$ になり、一方でこの空間は各交点 $P$ での $O_{P} / (F, G)$ の直和と同じ次元をもつ、というのが証明の骨組みです。

条件の意味. 射影平面で考えるのは、無限遠点での交点を落とさないためです（アフィン平面の平行線は交わらない）。 $k$ が代数閉体であることは、虚の交点を落とさないためです（実数の範囲では円 $x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $y = 2$ は交わらない）。共通成分があると交点が無限個になり、 $\sum$ が意味をもちません。

上限を示す使い方. 前提の技能の $I_{P} (F, G) \geq m_{P} (F) m_{P} (G)$ と組み合わせます。例えば既約な 3 次曲線 $F$ に特異点 $P \neq = Q$ が 2 つあったとすると、 $P, Q$ を通る直線 $L$ について $I_{P} (F, L) + I_{Q} (F, L) \geq 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 > 3 \cdot 1$ となり、ベズーの定理から $L$ と $F$ は共通成分をもちます。 $F$ は既約で次数 $3 \geq 2$ なので、1 次式 $L$ が $F$ の因子になることはなく、矛盾です。よって既約 3 次曲線の特異点は高々 1 個です。同様に、 $d \geq 2$ のとき、既約な次数 $d$ の曲線上の点の重複度は $d - 1$ 以下です（重複度 $m$ の点 $P$ と、曲線上の別の点 $Q$ を通る直線 $L$ をとると $\sum I \geq m + 1$ 。 $d \geq 2$ なので既約な $F$ の成分に直線 $L$ はなれず、共通成分はないから $m + 1 \leq d$ ）。なお $d = 1$ （直線）では各点の重複度は $1 = d$ で、この主張は成り立ちません。

手順

2 つの曲線を斉次化して射影平面の曲線 $F$ （次数 $d$ ）, $G$ （次数 $e$ ）として書き、共通成分がないこと（共通の因子をもたないこと）を確かめる。
アフィン部分 $Z = 1$ の交点と、無限遠直線 $Z = 0$ 上の交点をすべて書き出す。
わかっている点の局所交点数を求める（両方の曲線がその点で非特異で接線が異なれば 1。それ以外は $I_{P} (f, g) = I_{P} (f, g + h f)$ や積への加法性で簡約する）。
ベズーの定理 $\sum_{P} I_{P} (F, G) = d e$ から、残りの点の交点数を引き算で求める。
上限を示すときは、補助曲線（直線・円錐曲線）を特異点を通るように選び、 $I_{P} \geq m_{P} (F) m_{P} (G)$ で合計を下から評価し、それが $d e$ を超えるなら共通成分をもつ（補助曲線が $F$ の成分になれない場合は既約性などに反する）と結論する。

例題

$C$ 上の射影平面で、円錐曲線 $F = Y Z - X^{2}$ と 3 次曲線 $G = Y^{2} Z - X^{3}$ を考える。無限遠点 $P_{\infty} = (0 : 1 : 0)$ における局所交点数 $I_{P_{\infty}} (F, G)$ を、ベズーの定理を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $F$ は既約な 2 次式、 $G$ は既約な 3 次式で、互いに定数倍でないので共通成分はない。よって $\sum_{P} I_{P} (F, G) = 2 \cdot 3 = 6$ 。

手順 2: $Z = 1$ では $y = x^{2}$ と $y^{2} = x^{3}$ を連立して $x^{4} = x^{3}$ 、よって $x = 0$ または $x = 1$ で、交点は $(0 : 0 : 1)$ と $(1 : 1 : 1)$ 。 $Z = 0$ では $F = - X^{2} = 0$ より $X = 0$ となり、点 $(0 : 1 : 0)$ は $G$ も満たす。交点はこの 3 点だけ。

手順 3: $(1 : 1 : 1)$ では、 $y = x^{2}$ の接線の傾きは $2$ 、 $y^{2} = x^{3}$ の接線の傾きは $2 y y^{'} = 3 x^{2}$ より $\frac{3}{2}$ 。どちらも非特異で接線が異なるので $I = 1$ 。原点 $(0 : 0 : 1)$ では
$I (y - x^{2}, y^{2} - x^{3}) = I (y - x^{2}, x^{4} - x^{3}) = I (y - x^{2}, x^{3}) + I (y - x^{2}, x - 1) = 3 I (y - x^{2}, x) + 0 = 3.$
（ $y^{2} - x^{3}$ に $- (y + x^{2}) (y - x^{2})$ を加えると $x^{4} - x^{3}$ 。 $x - 1$ は原点で単元なので交点数 0、 $I (y - x^{2}, x) = I (y, x) = 1$ 。）

手順 4: $I_{P_{\infty}} (F, G) = 6 - 3 - 1 = 2$ 。

（確かめ: 座標 $Y = 1$ で $F = z - x^{2}$ , $G = z - x^{3}$ となり、 $I (z - x^{2}, z - x^{3}) = I (z - x^{2}, x^{2} - x^{3}) = 2 I (z - x^{2}, x) + I (z - x^{2}, 1 - x) = 2$ で一致する。）

答え: $2$

よくある誤り

無限遠点での交点を数え忘れる誤り。例題でアフィン部分だけを見ると交点数の合計は $3 + 1 = 4$ で $d e = 6$ に足りない。正しくは $Z = 0$ 上の点 $(0 : 1 : 0)$ も調べ、そこでの交点数 $2$ を加えて $6$ になる。
交点の個数をそのまま $d e$ と思い、重複度を無視する誤り。例題の交点は 3 点しかないが $2 \cdot 3 = 6$ に矛盾しない。正しくは $\sum_{P} I_{P} (F, G) = d e$ で、接したり特異点を通ったりする点は $I_{P} \geq 2$ として数える。
共通成分をもつ曲線に当てはめてしまう誤り。例えば $F = X Y$ , $G = X (X - Z)$ は直線 $X = 0$ を共有し、交点は無限個で $\sum I_{P} = 2 \cdot 2$ は成り立たない。正しくは共通の因子がないことを確かめてから使う。
実数の範囲で交点を数えてしまう誤り。例えば $X^{2} + Y^{2} - Z^{2}$ と $Y - 2 Z$ は実の交点をもたないが、 $C$ では $(\pm 3 i : 2 : 1)$ の 2 点で交わり合計 $2 \cdot 1 = 2$ 。正しくは代数閉体上で数える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素射影平面 $P_{C}^{2}$ （斉次座標 $[X : Y : Z]$ ）内の $2$ 次曲線 $Q$ と $3$ 次曲線 $D$ を
$Q : Y Z - X^{2} = 0, D : Y Z^{2} - X^{3} = 0$
で定める。 $Q$ と $D$ の無限遠点 $P_{\infty} = [0 : 1 : 0]$ における局所交点数 $I_{P_{\infty}} (Q, D)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

射影多様体の次数（大学院数学代数幾何）