代数幾何の問題

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $7$ 次曲線 $C$ と $6$ 次曲線 $D$ を
$$C:Z(Y^{2}Z-X^3{)}^2-4X^{5}YZ-X^7=0,D:(Y^{2}Z-X^3{)}^2-4X^{5}Y=0$$
で定める。点 $P=[0:0:1]$ における $C$ と $D$ の局所交点数 $I_P(C,D)$ を求めよ。ただし、$P$ のアフィン近傍 $Z\ne 0$ で $C,D$ の定義式を $f(x,y),g(x,y)$（$x=X/Z$, $y=Y/Z$）とするとき、$I_P(C,D)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_P/(f,g)$（${\mathcal{O}}_P$ は $P$ における ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$ の局所環）とする。

$k$ を体、$n\ge 1$ を整数とし、$S=k[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ を通常の次数付けをもつ多項式環、$S_m$ を $m$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする（$m<0$ なら $S_m=0$）。$F\in S$ を次数 $d\ge 1$ の $0$ でない斉次多項式とし、$I=(F)$ を $F$ が生成するイデアル、$I_m=I\cap S_m$ とおく。$R=S/I$ の $m$ 次部分の次元を $h(m)={\dim }_k{S}_m-{\dim }_k{I}_m$ と定める。

このとき、$m\ge d$ をみたすすべての整数 $m$ について
$$h(m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-d}{n}\right)$$
が成り立ち、さらに右辺は $m$ の多項式として次数 $n-1$、最高次の係数 $\frac{d}{(n-1)!}$ をもつことを証明せよ。ただし ${\dim }_k{S}_m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)$（$m\ge 0$）は用いてよい。

$k$ を体（代数閉体とは限らない）とし、整数 $d\ge 0$ に対して $S_d$ を $k[X,Y,Z]$ の $d$ 次斉次多項式（$0$ を含む）全体のなす $k$ ベクトル空間とする。$S_d$ は単項式 $X^a{Y}^b{Z}^c$（$a,b,c\ge 0$, $a+b+c=d$）を基底にもち、${\dim }_k{S}_d=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)$ であることは用いてよい。

斉次多項式 $F$ と点 $P\in {\mathbb{P}}^2(k)$ について、$P$ の斉次座標の代表 $p\in k^3\setminus \{0\}$ をとって $F(p)=0$ となるとき「$F$ は $P$ を通る」といい、$F(P)=0$ と書く（この条件は代表の取り方によらない）。$F(P)\ne 0$ はこの否定を表す。

整数 $n$ は $1\le n\le d+1$ をみたすとし、$P_1,\dots ,P_n\in {\mathbb{P}}^2(k)$ を互いに相異なる $n$ 点とする。
$$I=\{F\in S_d\mid F(P_1)=\cdots =F(P_n)=0\}$$
とおくとき、$I$ は $S_d$ の部分空間であって
$${\dim }_{k}I=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)-n$$
であることを証明せよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の射影平面曲線
$$C:X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考える。$C$ は ${\overline{\mathbb{F}}}_2$ 上で非特異な $4$ 次曲線である（したがって種数は $3$）。正の整数 $k$ に対し、$N_k$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{2^k}$ 有理点（${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{2^k})$ の点で $C$ 上にあるもの）の個数とする。$N_6=\#C({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分に含まれないもの（無限遠点）はちょうど $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 有理点である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{7^4}$ 有理点（無限遠点を含む）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。