代数幾何の問題

$N_n=\#C({\mathbb{F}}_{7^n})$ とおく。種数 $2$ の曲線のゼータ関数の分子（$L$ 多項式）を $$L(T)=\prod _{i=1}^4(1-{\alpha }_{i}T)=1+c_{1}T+c_2{T}^2+7c_1{T}^3+49T^4$$ と書くと、ヴェイユ予想（有理性と関数等式）により $$N_n=7^n+1-\sum _{i=1}^4{\alpha }_i^n$$ が成り立つ。$L(T)$ は $c_1,c_2$ で決まるので、$N_1,N_2$ を求めればよい。

$N_1,N_2$ の計算. $q=7$ または $q=49$ のとき、$\gcd (5,q-1)=1$（$q-1=6,48$）なので、写像 $x\mapsto x^5$ は ${\mathbb{F}}_q^{\times }$ の全単射であり、$0\mapsto 0$ も合わせて ${\mathbb{F}}_q$ の全単射である。よってアフィン部分の点の個数は、$u=x^5$ と置き換えた $y^2=u+1$ の解 $(u,y)\in {\mathbb{F}}_q^2$ の個数に等しい。$y$ を任意に決めると $u=y^2-1$ がただ 1 つ決まるので、その個数は $q$ である。無限遠点 $1$ 個を加えて $$N_1=8,N_2=50.$$

$L(T)$ の決定. $e_1=\sum {\alpha }_i=-c_1$, $e_2={\sum }_{i<j}{\alpha }_i{\alpha }_j=c_2$ である。$N_1=7+1-\sum {\alpha }_i$ より $\sum {\alpha }_i=0$、よって $c_1=0$。$N_2=49+1-\sum {\alpha }_i^2$ より $\sum {\alpha }_i^2=0$。ニュートンの公式 $\sum {\alpha }_i^2=e_1^2-2e_2$ から $0=0-2c_2$、よって $c_2=0$。したがって $$L(T)=1+49T^4.$$ $L(T)=T^{4}P(1/T)$, $P(x)=\prod (x-{\alpha }_i)=x^4+49$ であるから、各 ${\alpha }_i$ は ${\alpha }_i^4=-49$ をみたす。

$N_4$ の計算. $$\sum _{i=1}^4{\alpha }_i^4=4\cdot (-49)=-196$$ なので $$N_4=7^4+1-(-196)=2401+1+196=2598.$$

（確認: ${\alpha }_i^2$ は $({\alpha }_i^2{)}^2=-49$ をみたし、$\pm 7\sqrt{-1}$ が $2$ 個ずつなので $\sum {\alpha }_i^2=0$ となり $N_2=50$ と整合する。また $N_4=7^4+1+2\cdot 2\cdot 7^2$ はハッセ・ヴェイユの上界に一致する。なお $7^4-1=2400$ は $5$ で割り切れるので、${\mathbb{F}}_{7^4}$ では $x\mapsto x^5$ は全単射でなく、上の直接の数え方は使えない。）

答えは $2598$ である。

フロベニウス固有値を ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ とし、$s_k={\sum }_i{\alpha }_i^k$ とおくと $\#C({\mathbb{F}}_{q^k})=q^k+1-s_k$（$q=7$）。

(1) $k=1$：$\gcd (5,6)=1$ なので $x\mapsto x^5$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上の全単射。よってアフィン点の数は ${\sum }_{u\in {\mathbb{F}}_7}(1+\chi (u+1))=7+0=7$（$\chi$ は平方剰余指標）。無限遠点を加えて $\#C({\mathbb{F}}_7)=8$。ゆえに $s_1=7+1-8=0$。

(2) $k=2$：$\gcd (5,48)=1$ なので $x\mapsto x^5$ は ${\mathbb{F}}_{49}$ 上の全単射。同様にアフィン点は $49$ 個、$\#C({\mathbb{F}}_{49})=50$。ゆえに $s_2=49+1-50=0$。

(3) 基本対称式：$e_1=s_1=0$、$e_2=(e_1{s}_1-s_2)/2=0$。関数等式より $e_3=q{e}_1=0$、$e_4=q^2=49$。よって特性多項式は $P(T)=T^4+49$、すなわち ${\alpha }_i^4=-49$（各 $i$）。

(4) $s_4=\sum {\alpha }_i^4=4\cdot (-49)=-196$。したがって
$\#C({\mathbb{F}}_{7^4})=7^4+1-s_4=2401+1+196=2598$。

検算：ハッセ・ヴェイユの限界 $|N-2402|\le 2g\cdot 7^2=196$ をちょうど満たす（$196$）。$P(T)=T^4+49$ の根は絶対値 $\sqrt{7}$ で整合的。また ${\mathbb{F}}_{7^4}$ では $\gcd (5,2400)=5$ で全単射でないため、点数が $2402$ からずれることとも矛盾しない。