技能一覧 › 大学院数学 代数幾何

曲線のゼータ関数と L 多項式

種数 $g$ の曲線について $Z(T)=\frac{L(T)}{(1-T)(1-qT)}$、$L(T)={\sum }_{i=0}^{2g}{c}_i{T}^i={\prod }_{i=1}^{2g}(1-{\alpha }_{i}T)$ を使える。関数等式 $c_{2g-i}=q^{g-i}{c}_i$（$c_0=1$）を使い、$N_1,\dots ,N_g$ からニュートンの恒等式で $c_1,\dots ,c_g$ を決め、残りの係数も決めて $L(T)$ を定められる。そこから $N_k=q^k+1-{\sum }_i{\alpha }_i^k$ を求められる

前提

• フロベニウスのトレースと拡大体上の点の数 （大学院数学 代数幾何）
• 3 変数のべき和の漸化式 （数学I 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 与えられた $N_1,\dots ,N_g$ からべき和 $S_k=q^k+1-N_k$（$k=1,\dots ,g$）を計算する。

2. ニュートンの恒等式 $k{c}_k=-(S_k+c_1{S}_{k-1}+\cdots +c_{k-1}{S}_1)$ で $c_1,\dots ,c_g$ を順に求める（例: $c_1=-S_1$, $c_2=\frac{S_1^2-S_2}{2}$）。

3. 関数等式 $c_{2g-i}=q^{g-i}{c}_i$（$c_0=1$）で残りの係数 $c_{g+1},\dots ,c_{2g}$ を埋め、$L(T)={\sum }_{i=0}^{2g}{c}_i{T}^i$ を書く。

4. 求めたい $k>g$ について $S_k$ を順に求める。$g<k\le 2g$ では $S_k=-(c_1{S}_{k-1}+\cdots +c_{k-1}{S}_1+k{c}_k)$、$k>2g$ では $c_k=0$ として $S_k=-(c_1{S}_{k-1}+c_2{S}_{k-2}+\cdots +c_{2g}{S}_{k-2g})$ を使う。

5. $N_k=q^k+1-S_k$ で点の数を出す。

例題

よくある誤り

• $c_1=S_1$ と符号を取り違える誤り。$L(T)=\prod (1-{\alpha }_{i}T)$ なので $c_1=-\sum {\alpha }_i=-S_1$。例題では $S_1=-1$ から $c_1=1$（$c_1=-1$ ではない）。

• 関数等式を $c_{2g-i}=c_i$（係数が左右対称）としてしまう誤り。正しくは $c_{2g-i}=q^{g-i}{c}_i$ で、例題なら $c_3=3c_1=3$, $c_4=9$。$c_3=1$, $c_4=1$ とすると $S_3=-(-3-2+3)=2$, $N_3=26$ と誤る。

• ニュートンの恒等式で係数 $k$ を落とす誤り。例えば $c_2=-(S_2+c_1{S}_1)$ とすると $c_2=4$ になる。正しくは $2c_2=-(S_2+c_1{S}_1)$ で $c_2=\frac{S_1^2-S_2}{2}=2$。同様に $S_3$ の式では $3c_3$ を使う。一方 $k>2g$ では $k{c}_k$ の項はなく（$c_k=0$）、例題の曲線なら $S_5=-(c_1{S}_4+c_2{S}_3+c_3{S}_2+c_4{S}_1)$ となる。

• $N_k=q^k+1+S_k$ と符号を逆にしてしまう誤り。正しくは $N_k=q^k+1-{\sum }_i{\alpha }_i^k=q^k+1-S_k$ で、例題の $S_3=-4$ からは $N_3=32$（$24$ ではない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上のアフィン曲線
  $$y^2=x^5-x+1$$
  の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$N_k=\#C({\mathbb{F}}_{3^k})$ とおくと、
  $$N_1=7,N_2=15$$
  であることがわかっている。このとき $N_3=\#C({\mathbb{F}}_{27})$ を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_3$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5-x$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分に含まれないもの（無限遠点）はちょうど $1$ 個で、それは ${\mathbb{F}}_3$ 有理点である。${\mathbb{F}}_3$ を含む有限体 ${\mathbb{F}}_{3^k}$ に対し、$N_k=\#C({\mathbb{F}}_{3^k})$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{3^k}$ 有理点の個数（無限遠点を含む）とする。$N_4=\#C({\mathbb{F}}_{81})$ を求めよ。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分 $y^2=x^5+1$ に含まれないもの（無限遠点）はただ $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 上定義されている。$C({\mathbb{F}}_q)$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体の集合とするとき、$\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の射影平面曲線
  $$C:X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
  を考える。$C$ は ${\overline{\mathbb{F}}}_2$ 上で非特異な $4$ 次曲線である（したがって種数は $3$）。正の整数 $k$ に対し、$N_k$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{2^k}$ 有理点（${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{2^k})$ の点で $C$ 上にあるもの）の個数とする。$N_6=\#C({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上のアフィン曲線 $$y^2=x^5+1$$ の非特異射影モデルを $C$ とする。$C$ は種数 $2$ の超楕円曲線であり、$C$ の点のうちアフィン部分に含まれないもの（無限遠点）はちょうど $1$ つで、それは ${\mathbb{F}}_7$ 有理点である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{7^4}$ 有理点（無限遠点を含む）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{7^4})$ を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の難問レベル）

  ${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の射影平面曲線
  $$C:X^4+Y^4+2Z^4=0(\subset {\mathbb{P}}^2,\text{斉次座標 }[X:Y:Z])$$
  を考える。$C$ は非特異であり、種数は $3$ である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{125}$ 有理点（斉次座標をすべて ${\mathbb{F}}_{125}$ の元に取れる $C$ 上の点）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{125})$ を求めよ。