射影平面曲線と斉次化

${\mathbb{F}}_{11}$ を元の個数 $11$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_{11}$ 上のアフィン平面曲線
$$C_0:xy=3$$
を考え、その射影閉包を $C\subset {\mathbb{P}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$、アフィン平面は $Z\ne 0$ の部分 $x=X/Z,y=Y/Z$ と同一視する）とする。$C$ の ${\mathbb{F}}_{11}$ 有理点の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{11})$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線
$$C:Y^2{Z}^3=X(X-Z{)}^2(X+Z)(X-2Z)$$
を考える。$C$ は既約である。$C$ の幾何種数（$C$ の正規化であるコンパクトリーマン面の種数）を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線
$$C:Y^2{Z}^3=X^5-X{Z}^4$$
を考える（$C$ は既約である）。点 $P=[0:1:0]$ は $C$ の特異点である。$P$ における $C$ の $\delta$ 不変量
$${\delta }_P={\dim }_{\mathbb{C}}({\tilde{\mathcal{O}}}_{C,P}/{\mathcal{O}}_{C,P})$$
を求めよ。ただし ${\tilde{\mathcal{O}}}_{C,P}$ は局所環 ${\mathcal{O}}_{C,P}$ の（全商環の中での）整閉包である。

$p$ を $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ をみたす素数とし、$F(X,Y)\in {\mathbb{F}}_p[X,Y]$ を 3 次斉次多項式または零多項式とする。射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の曲線
$$C:Z^3=F(X,Y)$$
の ${\mathbb{F}}_p$ 有理点の集合を
$$C({\mathbb{F}}_p)=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_p)\mid Z^3=F(X,Y)\}$$
と定める（両辺はともに 3 次斉次なので、この条件は斉次座標の取り方によらない）。このとき、$F$ の取り方によらず
$$\#C({\mathbb{F}}_p)=p+1$$
であることを証明せよ。ただし、有限群の元の位数は群の位数を割り切ること（ラグランジュの定理）は用いてよい。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の曲線
$$E:y^2+xy=x^3+1$$
を考える。$E$ は楕円曲線（非特異）であることを用いてよい。$E({\mathbb{F}}_q)$ を、$E$ の射影閉包 $Y^{2}Z+XYZ=X^3+Z^3$ の ${\mathbb{F}}_q$ 有理点全体とする（無限遠点 $[0:1:0]$ を含む）。$\#E({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を
$$C:Y^3{Z}^2-X^5=0,D:X^4-Y^2{Z}^2+XY{Z}^2=0$$
で定める。$C$ は既約であることを用いてよい。点 $p$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_p(C,D)={\dim }_{\mathbb{C}}{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2,p}/(f,g)$（$f,g$ は $p$ の近くでの $C,D$ の局所方程式）で定める。$O=[0:0:1]$、$P=[0:1:0]$ とするとき、
$$(I_O(C,D),I_P(C,D),N)$$
をこの順に組で求めよ。ただし $N$ は $C\cap D$ のうち $O,P$ 以外の点の個数（相異なる点の個数）である。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_7$ 上の射影平面曲線
$$C:X^3+Y^3+Z^3=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考え、${\mathbb{F}}_7$ の拡大体 ${\mathbb{F}}_{7^n}$ に対して $N_n$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{7^n}$ 有理点（射影平面の点 $[X:Y:Z]$ で座標を ${\mathbb{F}}_{7^n}$ にとれるもの）の個数とする。$N_3$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $3$ 次曲線 $C$ と $5$ 次曲線 $D$ を
$$C:Y^{2}Z-X^{2}Z-X^3=0,D:Y^2{Z}^3-X^{4}Z-X^5=0$$
で定める。3 点
$$O=[0:0:1],P=[-1:0:1],Q=[0:1:0]$$
はいずれも $C\cap D$ に属する。点 $R$ における $C$ と $D$ の交点数（局所交叉重複度）を $I_R(C,D)$ と書くとき、
$$(I_O(C,D),I_P(C,D),I_Q(C,D))$$
をこの順に並べた組として求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ の斉次座標を $[X:Y:Z]$ とし、フェルマー五次曲線 $$C=\{[X:Y:Z]\in {\mathbb{P}}^2\mid X^5+Y^5+Z^5=0\}$$ を考える。$C$ は非特異であり、コンパクトリーマン面とみなす。$\omega =e^{2\pi i/5}$ とし、$k=0,1,2,3,4$ に対して $$P_k=[1:-{\omega }^k:0]\in C$$ とおく。$C$ 上の因子 $$D=2P_0+2P_1+2P_2+P_3+P_4$$ に対して、$$L(D)=\{f\mid f\text{は}C\text{上の有理型関数で},f=0\text{または}(f)+D\ge 0\}$$ と定め、$\ell (D)={\dim }_{\mathbb{C}}L(D)$ とする。$\ell (D)$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $3$ 次曲線 $C$ と $4$ 次曲線 $D$ を $$C:Y^{2}Z-X^3=0,D:X^4-XY{Z}^2=0$$ で定める。$P=[0:0:1]$, $Q=[0:1:0]$ とおくと、$P,Q$ はともに $C\cap D$ に属する。点 $R$ における $C$ と $D$ の交点数を $I_R(C,D)$ と書く。$I_P(C,D)$ と $I_Q(C,D)$ をこの順に組 $(I_P(C,D),I_Q(C,D))$ として求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $8$ 次曲線
$$C:Y^3{Z}^5=(X^4-Z^4{)}^2$$
を考える。$C$ は既約であることを用いてよい。$C$ の特異点の個数を $s$、$C$ の幾何種数（正規化の種数）を $g$ とするとき、組 $(s,g)$ を求めよ。

複素射影平面 ${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2$（斉次座標 $[X:Y:Z]$）内の $5$ 次曲線 $C$ と、複素数 $t$ をパラメータとする $3$ 次曲線 $D_t$ を
$$C:Y^2{Z}^3-X^{4}Z-X^5=0,D_t:Y{Z}^2-X^{2}Z-t{X}^3=0$$
で定める。ただし $t\ne 0,t\ne \frac{1}{2}$ とする。点 $O=[0:0:1]$、$P=[0:1:0]$ における $C$ と $D_t$ の局所交点数をそれぞれ $I_O(C,D_t)$、$I_P(C,D_t)$ とする。組 $(I_O(C,D_t),I_P(C,D_t))$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_2$ 上の射影平面曲線
$$C:X^{3}Y+Y^{3}Z+Z^{3}X=0(\subset {\mathbb{P}}^2)$$
を考える。$C$ は ${\overline{\mathbb{F}}}_2$ 上で非特異な $4$ 次曲線である（したがって種数は $3$）。正の整数 $k$ に対し、$N_k$ を $C$ の ${\mathbb{F}}_{2^k}$ 有理点（${\mathbb{P}}^2({\mathbb{F}}_{2^k})$ の点で $C$ 上にあるもの）の個数とする。$N_6=\#C({\mathbb{F}}_{64})$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。${\mathbb{F}}_5$ 上の射影平面曲線
$$C:X^4+Y^4+2Z^4=0(\subset {\mathbb{P}}^2,\text{斉次座標 }[X:Y:Z])$$
を考える。$C$ は非特異であり、種数は $3$ である。$C$ の ${\mathbb{F}}_{125}$ 有理点（斉次座標をすべて ${\mathbb{F}}_{125}$ の元に取れる $C$ 上の点）の個数 $\#C({\mathbb{F}}_{125})$ を求めよ。