代数幾何の問題

$F=Y^3{Z}^5-(X^4-Z^4{)}^2$ とおく。

1. アフィン部分 $Z\ne 0$ の特異点。 $Z=1$ として $f(x,y)=y^3-(x^4-1{)}^2$。
$$f_y=3y^2,f_x=-8x^3(x^4-1).$$
$f_y=0$ より $y=0$、すると $f=0$ より $x^4=1$。このとき $f_x=0$ も成り立つ。よって特異点は $(x,y)=(a,0)$（$a=\pm 1,\pm i$）の $4$ 点。

各点 $(a,0)$ の近くでは $(x^4-1{)}^2=(x-a{)}^{2}u(x)$、$u(x)={\prod }_{b\ne a}(x-b{)}^2$ で $u(a)\ne 0$。$u$ の平方根を取り $x^{\prime }=(x-a)\sqrt{u(x)}$ と解析的に座標変換すると局所方程式は $y^3=x^{\prime 2}$ となり、これは通常尖点（カスプ）である。パラメータ表示 $x^{\prime }=t^3,y=t^2$ の値の半群は $⟨2,3⟩$ で、欠落数は $\{1\}$ の $1$ 個。よって $\delta =1$。

2. 無限遠直線 $Z=0$ 上の点。 $Z=0$ を代入すると $X^8=0$ なので、$C$ と無限遠直線の交点は $P=[0:1:0]$ のみ。$Y=1$ のチャートで $x=X,z=Z$ とおくと
$$z^5=(x^4-z^4{)}^2=x^8-2x^4{z}^4+z^8.$$
最低次の項は $z^5$（$5$ 次）なので $P$ は重複度 $5$ の特異点で、接錐は $z^5=0$（接線は $z=0$ のみ）。

$x=t^5,z=t^{8}w$ とおくと $t^{40}{w}^5=t^{40}(1-t^{12}{w}^4{)}^2$、すなわち
$$w^5=(1-t^{12}{w}^4{)}^2.$$
$t=0$ で $w=1$ は単純解（$w$ についての微分 $5w^4\ne 0$）なので、陰関数定理により $w(0)=1$ をみたす正則関数 $w(t)$ が存在する。$\gcd (5,8)=1$ より $t\mapsto (t^5,t^{8}w(t))$ は単射なパラメータ表示であり、$t\mapsto \zeta t$（${\zeta }^5=1$）で与えられた $x$ に対する $z$ の $5$ 個の解をすべて尽くすので、$P$ における分枝は $1$ 本である。値の半群は $⟨5,8⟩$ であり
$${\delta }_P=\frac{(5-1)(8-1)}{2}=14.$$
（重複度列 $5,3,2,1,1$ から $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=10+3+1=14$ としても同じ。）

よって特異点は全部で $s=4+1=5$ 個。

3. 幾何種数。 既約な $d$ 次平面曲線では
$$g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum _Q{\delta }_Q.$$
$d=8$ より算術種数は $\frac{7\cdot 6}{2}=21$。
$$g=21-(4\cdot 1+14)=3.$$

検算（Riemann–Hurwitz）。 $x$ 座標による射影 $\tilde{C}\to {\mathbb{P}}^1$ は $3$ 次で、$x=\pm 1,\pm i$ では $y^3=c(x-a{)}^2$（$\gcd (2,3)=1$）より完全分岐、$x=\infty$ では $\mathrm{deg}(x^4-1{)}^2=8$ が $3$ で割り切れないので完全分岐、それ以外では不分岐。よって $2g-2=3\cdot (-2)+5\cdot 2=4$ となり $g=3$ で一致する。

答え：$(s,g)=(5,3)$

アフィン部分 $Z=1$ では $F=y^3-(x^4-1{)}^2$ とおく。$F_y=3y^2$、$F_x=-8x^3(x^4-1)$ である。特異点では $F_y=0$ より $y=0$ となり、$F=0$ より $x^4=1$ を得る。このとき $F_x=0$ も成り立つ。よって特異点は 4 点 $(\zeta ,0)$（${\zeta }^4=1$）である。各点で $u=x^4-1$ は局所座標であり、局所的に $y^3=u^2$ となる。これは尖点（$A_2$ 型）で、既約（枝は 1 本）、$\delta =1$ である。

無限遠では $Z=0$ のとき $X^8=0$ となるので、点は $[0:1:0]$ のみである。$Y=1$ の局所方程式は $z^5=(x^4-z^4{)}^2$、すなわち $z^5-x^8+2x^4{z}^4-z^8=0$ である。ニュートン多角形は $(0,5)$ と $(8,0)$ を結ぶ 1 辺のみで、$(4,4)$ と $(0,8)$ はその上側にある。主部 $z^5-x^8$ は重根をもたず非退化である。$\gcd (5,8)=1$ より枝は 1 本で、ミルナー数は $\mu =(5-1)(8-1)=28$ である。$\mu =2\delta -r+1$ で $r=1$ なので $\delta =14$ となる。

よって特異点は $4+1=5$ 個で、$s=5$ である。

幾何種数は $g=\frac{(8-1)(8-2)}{2}-\sum \delta =21-(4\cdot 1+14)=3$ である。

検算として、$x$ への射影 $y^3=(x^4-1{)}^2$ は 3 次の巡回被覆である。分岐点は $x^4=1$ の 4 点と $x=\infty$ で、$\infty$ では $x^8$ の指数 8 が 3 と互いに素でないが $8\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので完全分岐する。合計 5 点が完全分岐するので、リーマン・フルヴィッツの公式より $2g-2=3(-2)+5\cdot 2=4$、すなわち $g=3$ となり一致する。