平面曲線の種数公式

既約な $d$ 次平面曲線の幾何種数を $g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2} - \sum_{P} δ_{P}$ で求められる。 $δ_{P}$ は、通常 $m$ 重点では $\frac{m ( m - 1 )}{2}$ 、通常カスプでは $1$ とする。非特異な $d$ 次曲線の種数が $\frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ であることも使える

前提

平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）

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説明

複素射影平面内の既約な $d$ 次曲線について、その「穴の数」にあたる幾何種数 $g$ を、次数と特異点の情報だけから求める技能です。特異点がなければ $g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ で、特異点があるとその種類に応じた量 $δ_{P}$ だけ種数が下がり、 $g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2} - \sum_{P} δ_{P}$ となります。曲線が有理曲線（ $g = 0$ 、つまりパラメータ表示できる）かどうかの判定や、曲線を分類するときに使います。

なぜそうしてよいのか

以下、係数は $C$ とし、曲線は射影平面 $P^{2}$ の中で考えます。種数 $g$ は、曲線上の正則な微分形式のなす空間の次元として特徴づけられ、非特異な $d$ 次曲線 $F = 0$ では、その微分形式が「 $d - 3$ 次の斉次多項式 $G$ 」と 1 対 1 に対応することが知られています（ $\frac{G d x}{f _{y}}$ という形の微分形式。ここでは事実として認めます）。3 変数の $d - 3$ 次単項式 $X^{i} Y^{j} Z^{k}$ （ $i + j + k = d - 3$ ）の個数は、 $d - 3$ 個の玉と 2 本の仕切りの並べ方を数えて $(2 d - 1) = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ です。これが非特異曲線の種数の式の由来です。たとえば直線・2 次曲線は $g = 0$ 、非特異 3 次曲線は $g = 1$ 、非特異 4 次曲線は $g = 3$ です。

曲線に特異点 $P$ があると、上の $G$ には「 $P$ で十分高い次数で 0 になる」という条件が課され、その条件の数（独立な 1 次方程式の個数）が $δ_{P}$ です。通常 $m$ 重点（ $m$ 本の相異なる接線をもつ $m$ 重点）では、 $G$ が $P$ で $m - 1$ 重以上に消える、すなわち $P$ を原点とする座標で $G$ の $m - 2$ 次以下の項がすべて 0 という条件になります。2 変数の $m - 2$ 次以下の単項式は $1 + 2 + \dots + (m - 1) = \frac{m ( m - 1 )}{2}$ 個あるので、 $δ_{P} = \frac{m ( m - 1 )}{2}$ です。通常 2 重点（ノード）では $δ_{P} = 1$ 、通常 3 重点では $δ_{P} = 3$ 。また $y^{2} = x^{3}$ 型の通常カスプでは $δ_{P} = 1$ です。

直観的には、ノードは曲線のなめらかな 2 点を 1 点に貼り合わせたものなので、貼り合わせをほどく（正規化する）と、輪の数が 1 つ減ります。特異点のない $d$ 次曲線を少しずつ変形してノードをつくるたびに、穴が 1 つずつつぶれる、と考えてもよいでしょう。この式は既約な曲線に対してだけ使えます。

手順

曲線を斉次化して $F (X, Y, Z) = 0$ とし、次数 $d$ を確認する。既約であることを確かめる（問題で与えられていればそれを使う）。
$F = F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ を解いて、無限遠点（ $Z = 0$ ）も含めてすべての特異点を求める。
各特異点を原点に移して最低次の斉次部分を求め、重複度 $m$ と接線を調べ、通常 $m$ 重点（接線が $m$ 本とも相異なる）か通常カスプかを判定する。
$δ_{P}$ を決める。通常 $m$ 重点なら $δ_{P} = \frac{m ( m - 1 )}{2}$ 、通常カスプなら $δ_{P} = 1$ 。
$g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2} - \sum_{P} δ_{P}$ を計算する。結果が負になったら、特異点の見落としや判定の誤り、既約性を見直す。

例題

複素射影平面内の既約な 4 次曲線（レムニスケート） $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} - y^{2}$ の幾何種数 $g$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1）斉次化すると $F = (X^{2} + Y^{2})^{2} - Z^{2} (X^{2} - Y^{2})$ で、 $d = 4$ 。既約であることは与えられている。

（手順 2）まずアフィン部分。 $f = (x^{2} + y^{2})^{2} - x^{2} + y^{2}$ として
$f_{x} = 2 x (2 (x^{2} + y^{2}) - 1)$ , $f_{y} = 2 y (2 (x^{2} + y^{2}) + 1)$ 。
$x = 0$ のとき、 $f_{y} = 0$ から $y = 0$ または $y^{2} = - \frac{1}{2}$ 。後者では $f = y^{2} (y^{2} + 1) = - \frac{1}{4} \neq = 0$ なので不適、 $(0, 0)$ は $f = 0$ をみたす。 $x \neq = 0$ のとき $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ で、 $f_{y} = 0$ から $y = 0$ 、 $x^{2} = \frac{1}{2}$ だが $f = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \neq = 0$ で不適。アフィンの特異点は原点だけ。
次に無限遠点 $Z = 0$ 。 $F = 0$ から $(X^{2} + Y^{2})^{2} = 0$ で、点は $(1 : i : 0)$ , $(1 : - i : 0)$ 。
$F_{X} = 4 X (X^{2} + Y^{2}) - 2 X Z^{2}$ , $F_{Y} = 4 Y (X^{2} + Y^{2}) + 2 Y Z^{2}$ , $F_{Z} = - 2 Z (X^{2} - Y^{2})$ は $X^{2} + Y^{2} = 0$ , $Z = 0$ ですべて 0 なので、この 2 点も特異点である。

（手順 3）原点: 最低次の部分は $- x^{2} + y^{2} = (y - x) (y + x)$ で、 $m = 2$ 、接線 $y = \pm x$ は相異なるので通常 2 重点。
$(1 : i : 0)$ : $X = 1$ とおき $u = Y - i$ とすると $1 + Y^{2} = u (u + 2 i)$ なので、式は $u^{2} (u + 2 i)^{2} - Z^{2} (1 - Y^{2})$ 。 $Y = i$ で $1 - Y^{2} = 2$ だから最低次の部分は $(2 i)^{2} u^{2} - 2 Z^{2} = - 2 (2 u^{2} + Z^{2})$ で、 $Z = \pm 2 i u$ と相異なる 2 直線に分かれる。よって通常 2 重点。 $(1 : - i : 0)$ も同様（ $i$ を $- i$ に替える）に通常 2 重点。

（手順 4）3 点とも $δ_{P} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$ 。

（手順 5） $g = \frac{3 \cdot 2}{2} - (1 + 1 + 1) = 3 - 3 = 0$ 。

答え: $0$

よくある誤り

アフィン部分の特異点だけを数え、無限遠点の特異点を見落とす誤り。上の例で原点だけを数えると $g = 3 - 1 = 2$ になるが、 $(1 : \pm i : 0)$ も通常 2 重点なので、正しくは $g = 3 - 3 = 0$ 。必ず $F = F_{X} = F_{Y} = F_{Z} = 0$ を $Z = 0$ でも調べる。
接線が重なる特異点にも $δ_{P} = \frac{m ( m - 1 )}{2}$ を使ってしまう誤り。この式は接線が $m$ 本とも相異なる通常 $m$ 重点だけのものである。たとえば $y^{2} = x^{4}$ の原点（接線 $y = 0$ が 2 重のタクノード）は $m = 2$ だが $δ_{P} = 2$ で、 $1$ ではない。通常カスプ $y^{2} = x^{3}$ は $m = 2$ で $δ_{P} = 1$ 。
$δ_{P}$ を $m$ や $m - 1$ としてしまう誤り。正しくは $δ_{P} = \frac{m ( m - 1 )}{2}$ で、通常 3 重点なら $δ_{P} = 3$ 。たとえば通常 3 重点を 1 つもつ 4 次曲線の種数は $3 - 3 = 0$ （ $3 - 2 = 1$ ではない）。
既約でない曲線に公式を使ってしまう誤り。2 直線 $x y = 0$ では $d = 2$ 、原点がノードで $\frac{1 \cdot 0}{2} - 1 = - 1$ と負になる。公式は既約な曲線にだけ使い、可約なら成分ごとに考える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素射影平面 $P_{C}^{2}$ 内の既約な $5$ 次曲線 $C$ がある。 $C$ の特異点はちょうど $3$ 個で、そのうち $2$ 個は通常 $2$ 重点（ノード）、残りの $1$ 個は通常カスプである。 $C$ の幾何種数 $g$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

有限群による商リーマン面の種数（大学院数学複素解析・リーマン面）