複素解析・リーマン面の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学複素解析・リーマン面

複素射影平面 $P^{2}$ の斉次座標を $[X : Y : Z]$ とし、クライン四次曲線
$C = {[X : Y : Z] \in P^{2} ∣ X^{3} Y + Y^{3} Z + Z^{3} X = 0}$
を考える。 $C$ は非特異であることを用いてよい。 $C$ をコンパクトリーマン面とみなす。 $C$ 上の 3 点を
$P = [1 : 0 : 0], Q = [0 : 1 : 0], R = [0 : 0 : 1]$
とおく。 $C$ 上の因子 $D$ に対して
$L (D) = {f ∣ f は C 上の有理型関数で div (f) + D \geq 0} \cup {0}, ℓ (D) = dim_{C} L (D)$
と定める。
$(ℓ (P + 2 Q), ℓ (P + 2 R), ℓ (3 P + R))$
をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

平面曲線の種数公式（説明と入口の問題）
因子と L(D)（説明と入口の問題）
リーマン・ロッホの定理（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

リーマン・ロッホの定理 $ℓ (D) - ℓ (K - D) = de g D - g + 1$ を使い、 $ℓ (K - D)$ を求めることに帰着させましょう。種数は次数・種数公式から求まります。

ヒント 2

非特異平面四次曲線では標準線形系は直線で切り出されます。 $ℓ (K - D)$ は、 $C$ との交わり因子が $D$ 以上になる直線（一次形式）の空間の次元です。

ヒント 3

座標直線との交わりを計算すると $(Z = 0) \cdot C = 3 Q + P$ 、 $(X = 0) \cdot C = 3 R + Q$ 、 $(Y = 0) \cdot C = 3 P + R$ となり、 $Q, R$ での接線はそれぞれ $Z = 0$ , $X = 0$ です。

答えと解説

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(2, 1, 3)

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解説を読む

種数と標準因子. $C$ は非特異な四次曲線である。次数・種数公式より種数は
$g = \frac{( 4 - 1 ) ( 4 - 2 )}{2} = 3$
である。

非特異平面四次曲線では、標準因子は直線切断と線形同値である。さらに、正則微分の空間は斉次一次式 $a X + bY + c Z$ 全体と同型である（ $ω = L (X, Y, Z) \frac{d x}{F _{y}}$ の形）。このとき、正則微分の因子は直線 $L = 0$ と $C$ の交わり因子 $L \cdot C$ になる。したがって任意の有効因子 $D$ に対して
$ℓ (K - D) = dim {L （一次形式） ∣ L \cdot C \geq D}$
が成り立つ。

リーマン・ロッホの定理は
$ℓ (D) - ℓ (K - D) = de g D - g + 1 = de g D - 2$
である。

座標直線との交わり. $F = X^{3} Y + Y^{3} Z + Z^{3} X$ とおく。
- $Z = 0$ 上では $F = X^{3} Y$ となる。 $X = 0$ （点 $Q$ ）が 3 重、 $Y = 0$ （点 $P$ ）が 1 重なので、 $(Z = 0) \cdot C = 3 Q + P$ 。
- $X = 0$ 上では $F = Y^{3} Z$ となるので、 $(X = 0) \cdot C = 3 R + Q$ 。
- $Y = 0$ 上では $F = Z^{3} X$ となるので、 $(Y = 0) \cdot C = 3 P + R$ 。

特に、 $Q$ における接線は $Z = 0$ 、 $R$ における接線は $X = 0$ である。勾配 $(F_{X}, F_{Y}, F_{Z}) = (3 X^{2} Y + Z^{3}, X^{3} + 3 Y^{2} Z, Y^{3} + 3 Z^{2} X)$ が $Q$ で $(0, 0, 1)$ 、 $R$ で $(1, 0, 0)$ となることからも確かめられる。非特異点を通る直線のうち、そこで交点数が $2$ 以上になるのは接線だけである。

(i) $ℓ (P + 2 Q)$ . $L \cdot C \geq P + 2 Q$ となる直線は、 $Q$ での接線 $Z = 0$ のうち $P$ を通るものである。 $Z = 0$ は $P = [1 : 0 : 0]$ を通るので、条件を満たす一次形式の空間は $⟨ Z ⟩$ となり、 $ℓ (K - P - 2 Q) = 1$ である。よって
$ℓ (P + 2 Q) = 3 - 2 + 1 = 2.$
（実際、 $div (X / Z) = 3 R - 2 Q - P$ なので、 $1, X / Z$ が基底になる。）

(ii) $ℓ (P + 2 R)$ . $R$ での接線は $X = 0$ であり、 $P = [1 : 0 : 0]$ を通らない。よって $ℓ (K - P - 2 R) = 0$ であり、
$ℓ (P + 2 R) = 3 - 2 + 0 = 1.$

(iii) $ℓ (3 P + R)$ . $3 P + R = (Y = 0) \cdot C$ は標準因子である。 $K - D \sim 0$ より $ℓ (K - D) = 1$ なので、
$ℓ (3 P + R) = 4 - 2 + 1 = 3 (= g) .$
（実際、 $1, X / Y, Z / Y$ が基底になる。）

以上より、答えは $(2, 1, 3)$ である。

別解

種数は 3（非特異平面四次曲線）で、標準因子 $K$ は直線による切断の因子である。各点での接線を求める。

$Y = 0$ のとき $Z^{3} X = 0$ となるから、 $div (Y) = 3 P + R$ である。
$Z = 0$ のとき $X^{3} Y = 0$ となるから、 $div (Z) = 3 Q + P$ である。
$X = 0$ のとき $Y^{3} Z = 0$ となるから、 $div (X) = 3 R + Q$ である。

したがって $K \sim 3 P + R \sim 3 Q + P \sim 3 R + Q$ であり、次数は 4 である。

リーマン・ロッホの定理より $ℓ (D) = de g D - 2 + ℓ (K - D)$ である。また $L (K - D)$ は、 $D$ 上で消える直線のなす空間（直線の係数ベクトルの空間）と同一視できる。

1. $D = P + 2 Q$ （次数 3）について。 $ℓ (D) = 1 + ℓ (K - D)$ である。 $K - D \sim (3 Q + P) - P - 2 Q = Q$ なので $ℓ (K - D) = ℓ (Q) = 1$ （種数 $> 0$ のため）。よって $ℓ (P + 2 Q) = 2$ 。確認: $Q$ での接線 $Z = 0$ は $P$ を通る。この直線が $P + 2 Q$ 上で消える唯一の直線なので、次元は 1 で一致する。

2. $D = P + 2 R$ について。 $ℓ (D) = 1 + ℓ (K - D)$ である。 $P$ を通り $R$ で位数 2 以上で消える直線は、 $R$ での接線 $X = 0$ のみである。ところが $X = 0$ は $P = [1 : 0 : 0]$ を通らない。よって $ℓ (K - D) = 0$ であり、 $ℓ (P + 2 R) = 1$ 。

3. $D = 3 P + R \sim K$ について。 $ℓ (K) = g = 3$ 。

答えは $(2, 1, 3)$ 。

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