複素解析・リーマン面の問題

種数. $x^7-x=x(x^6-1)$ は相異なる 7 個の根 $0$ と $1$ の 6 乗根をもつ。$y^2=f(x)$ で $\mathrm{deg}f=7$ は奇数なので $x=\infty$ でも分岐し、$x:X\to {\mathbb{P}}^1$ の分岐点は 8 個。リーマン・フルヴィッツの公式より
$$2g-2=2(0-2)+8=4,g=3.$$

標準因子. ${\infty }_X$ での局所座標を $t$ とすると $x$ は 2 位の極、$y$ は 7 位の極をもち、$x\sim t^{-2}$, $dx\sim t^{-3}dt$。有限の分岐点（$y=0$ の 7 点）では $dx$ と $y$ がともに 1 位の零点をもち、それ以外の有限の点では $dx$, $y$ とも零点・極をもたない。よって
$$\mathrm{div}\left(\frac{dx}{y}\right)=(-3+7){\infty }_X=4{\infty }_X$$
で、$K=4{\infty }_X$ は標準因子である。

リーマン・ロッホの定理. $\mathrm{deg}D=4$ なので
$$\ell (D)=\mathrm{deg}D+1-g+\ell (K-D)=4+1-3+\ell (K-D)=2+\ell (2{\infty }_X-2P_0).$$

$\ell (2{\infty }_X-2P_0)$ の計算. $P_0$ は分岐点なので $x$ は $P_0$ で 2 位の零点をもち（$P_0$ での局所座標は $y$ で、$x\sim y^2$）、ほかに零点はない。極は ${\infty }_X$ での 2 位だけなので
$$\mathrm{div}(x)=2P_0-2{\infty }_X.$$
したがって $2{\infty }_X-2P_0=-\mathrm{div}(x)=\mathrm{div}(1/x)$ は主因子で、$2{\infty }_X-2P_0\sim 0$。次数 $0$ の因子 $E$ について $\ell (E)=1$ となるのは $E\sim 0$ のときなので、$\ell (2{\infty }_X-2P_0)=1$。

よって $\ell (D)=2+1=3$。

確認. 実際、$1,x,1/x$ はどれも $L(D)$ に属し（$x$ の極は $2{\infty }_X$、$1/x$ の極は $2P_0$）、一次独立なので $L(D)=⟨1,x,1/x⟩$ である。

答えは $3$。

$y^2=x^7-x$ は次数 7（奇数）の超楕円曲線で、$2g+1=7$ より $g=3$。$\mathrm{deg}D=4=2g-2$。

$x$ の因子を調べる。$x=0$ では $y^2=x^7-x=x(x^6-1)$ で $x$ は 1 位の零点をもつから、$y$ は $P_0$ での局所座標になり $x$ は $P_0$ で 2 位の零点をもつ（$x=0$ の上の点は $P_0$ のみ）。$x=\infty$ の上の点は ${\infty }_X$ のみで $x$ は 2 位の極をもつ。ほかに零点も極もないので $\mathrm{div}(x)=2P_0-2{\infty }_X$。よって $2P_0\sim 2{\infty }_X$ であり、$D=2{\infty }_X+2P_0\sim 4{\infty }_X$。

$\ell (D)=\ell (4{\infty }_X)$ を求める。${\infty }_X$ のみに極をもつ関数の環は $\mathbb{C}[x,y]$ で、$x$ の極の位数は 2、$y$ は $y^2=x^7-\cdots$ より 7。極の位数が 4 以下のものは $1,x,x^2$ の一次結合（位数 0, 2, 4）で、$y$ 以上の位数 7 以上のものは含まれない。ゆえに $L(4{\infty }_X)=⟨1,x,x^2⟩$ で $\ell =3$。

検算（リーマン・ロッホ）: $\ell (D)-\ell (K-D)=\mathrm{deg}D-g+1=4-3+1=2$。標準因子 $K\sim (g-1)\cdot (\text{超楕円ファイバー})=2\cdot 2{\infty }_X=4{\infty }_X\sim D$ なので $\ell (K-D)=\ell (0)=1$。よって $\ell (D)=3$。直接にも $D$ の元として $1,x,1/x$（$\mathrm{div}(1/x)=2{\infty }_X-2P_0$ で $\mathrm{div}(1/x)+D=4{\infty }_X\ge 0$）が独立にとれる。