リーマン・ロッホの定理

$ℓ (D) - ℓ (K - D) = de g D - g + 1$ と標準因子（超楕円曲線では $\frac{x ^{i} d x}{y}$ が正則微分の基底、 $K \sim (g - 1) (\infty_{+} + \infty_{-})$ ）を使い、 $ℓ (K - D)$ を評価して線形系の次元 $ℓ (D)$ を求められる

前提

因子と L(D) （大学院数学複素解析・リーマン面）
リーマン・フルヴィッツの公式（大学院数学複素解析・リーマン面）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
因子と L(D) （大学院数学複素解析・リーマン面）
リーマン・フルヴィッツの公式（大学院数学複素解析・リーマン面）

説明

種数 $g$ のコンパクトリーマン面 $X$ 上の因子 $D$ に対して、 $ℓ (D) = dim L (D)$ （ $D$ で許された極しかもたない有理関数の空間の次元）を求めるのは、基底を直接書き出すと大変です。リーマン・ロッホの定理 $ℓ (D) - ℓ (K - D) = de g D - g + 1$ を使えば、補正項 $ℓ (K - D)$ 、すなわち「 $div (ω) \geq D$ を満たす有理型微分 $ω$ の空間の次元」を調べるだけで $ℓ (D)$ が決まります。超楕円曲線では正則微分が $\frac{x ^{i} d x}{y}$ の 1 次結合として具体的に書けるので、この補正項を多項式の次数や零点の条件として計算できます。

なぜそうしてよいのか

記号を定めます。有理型微分 $ω$ （局所座標 $t$ で $ω = u (t) d t$ 、 $u$ は有理型）の因子 $div (ω)$ を、各点での $u$ の零点・極の位数で定め（座標を取り替えても位数は変わらない）、その 1 つを $K = div (ω_{0})$ と書いて標準因子といいます。ほかの有理型微分はすべて $h ω_{0}$ （ $h$ は有理関数）と書け、 $div (h ω_{0}) = div (h) + K$ なので、 $h \in L (K - D) ⟺ div (h) + K - D \geq 0 ⟺ div (h ω_{0}) \geq D$ です。つまり $ℓ (K - D)$ は「 $div (ω) \geq D$ を満たす有理型微分 $ω$ の空間」の次元です。 $D \geq 0$ なら $ω$ は正則微分に限られ、 $D$ に負の係数 $- n$ （ $n > 0$ ）の点があればそこでは $n$ 位までの極が許されます。正則微分の空間の次元は $g$ （ $ℓ (K) = g$ ）、 $de g K = 2 g - 2$ です。

以下は定理の証明ではなく、式の形がなぜこうなるかの直観的な説明です。 $D = \sum n_{P} P$ （ $n_{P} \geq 0$ ）とします。 $h \in L (D)$ は各点 $P$ でローラン展開の主要部（負べきの部分）を $n_{P}$ 項までもてます。逆に、各 $P$ に $n_{P}$ 項までの主要部 $σ_{P}$ を勝手に指定したデータ $σ = (σ_{P})$ を考えると、その選び方は $de g D$ 次元です。 $σ$ を主要部にもつ $h \in L (D)$ が存在すれば、その $h$ は定数の差を除いて決まります（差は極のない関数で定数）。問題は、どの $σ$ が実際の関数 $h$ の主要部になるかです。そのような $h$ があれば、任意の正則微分 $ω$ について $hω$ はコンパクト面上の有理型微分なので留数の総和が $0$ で、 $P$ での $hω$ の留数は主要部 $σ_{P}$ と $ω$ だけで決まるので、 $σ$ は条件「 $\sum_{P} Res_{P} (σ_{P} ω) = 0$ 」を満たさなければなりません。 $ω$ は $g$ 次元の空間を動くので条件は最大 $g$ 個ですが、 $div (ω) \geq D$ となる $ω$ では $σ_{P} ω$ が $P$ で正則になって条件が自動的に成り立つので、効きうる条件は $g - ℓ (K - D)$ 個です。これらの条件が独立で、しかも主要部が関数から来るための十分条件にもなっている、というのが定理の中身で（その証明はここでは扱わない）、こうして $ℓ (D) = de g D - (g - ℓ (K - D)) + 1$ 、すなわちリーマン・ロッホの定理の形になります。特に $de g D > 2 g - 2$ なら $de g (K - D) < 0$ なので $L (K - D) = {0}$ （ $0$ でない関数の因子の次数は $0$ ）、 $ℓ (D) = de g D - g + 1$ です。

超楕円曲線 $X : y^{2} = f (x)$ （ $f$ は相異なる根をもつ $2 g + 2$ 次式, $g \geq 1$ ）では、 $\infty$ の上に 2 点 $\infty_{+}, \infty_{-}$ があり、 $x$ はそれぞれで 1 位の極をもちます。 $ω_{0} = \frac{d x}{y}$ を調べます。 $y = b \neq = 0$ の点 $(a, b)$ では $x - a$ が局所座標で $\frac{1}{y}$ は正則かつ $0$ でないので、零点も極もありません。分岐点 $(a, 0)$ では局所座標は $y$ で、 $x - a$ は $y$ について 2 位の零点をもち、 $2 y d y = f^{'} (x) d x$ より $\frac{d x}{y} = \frac{2 d y}{f ^{'} ( x )}$ （ $f^{'} (a) \neq = 0$ ）なので、ここでも零点も極もありません。 $\infty_{\pm}$ では $t = 1/ x$ として $d x = - \frac{d t}{t ^{2}}$ , $y \approx \pm c t^{- (g + 1)}$ （ $c \neq = 0$ ）より $\frac{d x}{y} \approx \mp c^{- 1} t^{g - 1} d t$ なので $g - 1$ 位の零点です。よって $K \sim (g - 1) (\infty_{+} + \infty_{-})$ で、 $\frac{x ^{i} d x}{y}$ （ $0 \leq i \leq g - 1$ ）は正則、 $g$ 個で一次独立なので正則微分の基底になります。多項式 $p$ （ $de g p \leq g - 1$ , $p \neq = 0$ ）について $\frac{p ( x ) d x}{y}$ の位数は、 $\infty_{\pm}$ ではどちらも $g - 1 - de g p$ 、 $b \neq = 0$ の点 $(a, b)$ では $ord_{a} (p)$ （ $p$ の $x = a$ での零点の位数）、分岐点 $(a, 0)$ では $2 ord_{a} (p)$ です。

手順

曲線の種数 $g$ と $de g D$ を求める。 $de g D > 2 g - 2$ なら $ℓ (K - D) = 0$ なので $ℓ (D) = de g D - g + 1$ で終わり
そうでないとき、 $ℓ (K - D) = dim {ω : div (ω) \geq D}$ と読み替える。 $D \geq 0$ なら $ω$ は正則微分に限られる。 $D$ が負の係数 $- n$ の点 $P$ を含むなら、 $ω$ は $P$ で $n$ 位までの極をもってよいので、正則微分だけでなく極をもつ微分も候補に入れる（超楕円曲線で負の部分が $\infty_{\pm}$ だけなら、候補は $\frac{( a ( x ) + b ( x ) y ) d x}{y}$ の形で $a, b$ は多項式）
超楕円曲線で $D \geq 0$ なら $ω = \frac{p ( x ) d x}{y}$ （ $de g p \leq g - 1$ ）とおき、 $D$ の各点での位数の条件を $p$ の条件に直す： $\infty_{\pm}$ では $g - 1 - de g p \geq n_{\infty_{\pm}}$ 、 $b \neq = 0$ の点 $(a, b)$ では $ord_{a} (p) \geq n_{P}$ 、分岐点 $(a, 0)$ では $2 ord_{a} (p) \geq n_{P}$
条件を満たす $p$ の空間の次元を数えて $ℓ (K - D)$ とする
$ℓ (D) = de g D - g + 1 + ℓ (K - D)$ を計算し、可能なら $L (D)$ の元を書き出して検算する

例題

超楕円曲線 $X : y^{2} = x^{8} - 1$ （非特異射影モデル）を考える。 $\infty$ の上の 2 点を $\infty_{+}, \infty_{-}$ とし、因子 $D = 2 \infty_{+} + \infty_{-}$ に対して $ℓ (D) = dim L (D)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $f (x) = x^{8} - 1$ は相異なる 8 根をもつので $2 g + 2 = 8$ より $g = 3$ 。 $de g D = 3$ で $2 g - 2 = 4$ より小さいので、 $ℓ (K - D)$ を調べる必要がある。

【手順 2】 $D \geq 0$ なので $ℓ (K - D)$ は $div (ω) \geq 2 \infty_{+} + \infty_{-}$ を満たす正則微分 $ω$ の空間の次元である。

【手順 3】 $ω = \frac{p ( x ) d x}{y}$ （ $de g p \leq 2$ ）とおく。 $\infty_{\pm}$ での零点の位数はどちらも $g - 1 - de g p = 2 - de g p$ なので、条件は $2 - de g p \geq 2$ （ $\infty_{+}$ ）かつ $2 - de g p \geq 1$ （ $\infty_{-}$ ）、すなわち $p$ が定数であること。

【手順 4】条件を満たす $ω$ は $c \frac{d x}{y}$ の 1 次元なので $ℓ (K - D) = 1$ 。

【手順 5】リーマン・ロッホの定理より
$ℓ (D) = de g D - g + 1 + ℓ (K - D) = 3 - 3 + 1 + 1 = 2.$
検算： $1$ と $x$ （ $x$ の極は $\infty_{+} + \infty_{-}$ で、 $div (x) + D \geq 0$ ）は $L (D)$ の一次独立な元なので、確かに $ℓ (D) \geq 2$ で、結果と合う。

答え: $2$

よくある誤り

$ℓ (K - D)$ を無視して常に $ℓ (D) = de g D - g + 1$ としてしまう誤り。例題では $3 - 3 + 1 = 1$ となり、 $1, x \in L (D)$ と矛盾する。この式が使えるのは $de g D > 2 g - 2$ のとき（ $ℓ (K - D) = 0$ が保証されるとき）で、それ以外では $ℓ (K - D)$ を実際に調べる
$ℓ (K - D)$ を「 $div (ω) \leq D$ 」や「 $D$ の点で極をもつ微分」の個数と取り違える誤り。正しくは $L (K - D) ≅ {ω : div (ω) \geq D}$ で、 $D \geq 0$ なら $D$ の各点で指定の位数以上の零点をもつ正則微分の空間である
分岐点 $P = (a, 0)$ での零点の位数を $ord_{a} (p)$ としてしまう誤り。分岐点の局所座標は $y$ で $x - a$ は 2 位の零点なので、正しくは $ord_{P} (\frac{p ( x ) d x}{y}) = 2 ord_{a} (p)$ 。例えば $y^{2} = x^{8} - 1$ の $P = (1, 0)$ で $D = 2 P$ なら、条件は $p (1) = 0$ の 1 つだけ（ $(x - 1)^{2} ∣ p$ までは要らない）
超楕円曲線の標準因子を $K \sim (g - 1) \infty$ や $K \sim (2 g - 2) \infty_{+}$ としてしまう、あるいは正則微分の基底を $\frac{x ^{i} d x}{y}$ （ $0 \leq i \leq g$ ）としてしまう誤り。 $f$ が偶数次 $2 g + 2$ のとき正しくは $div (\frac{d x}{y}) = (g - 1) (\infty_{+} + \infty_{-})$ で、 $\frac{x ^{g} d x}{y}$ は $\infty_{\pm}$ での位数が $- 1$ となり極をもつので、基底は $0 \leq i \leq g - 1$ の $g$ 個

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$X$ を、アフィン曲線
$y^{2} = x^{8} + x$
の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面とする（ $x^{8} + x$ は重根をもたないので、 $X$ は種数 $3$ の超楕円曲線である）。 $x : X \to P^{1}$ は次数 $2$ の正則写像で、 $x = \infty$ の上には相異なる $2$ 点 $\infty_{+}, \infty_{-}$ があり、そこでは分岐しない。
因子 $D = 2 \infty_{+} + \infty_{-}$ に対して
$L (D) = {h ∣ h は X 上の有理型関数で div (h) + D \geq 0} \cup {0}$
とおき、 $ℓ (D) = dim_{C} L (D)$ とする。 $ℓ (D)$ を求めよ。

リーマン・ロッホの定理

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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