正則写像の次数と分岐指数

平面曲線 $F (x, y) = 0$ の射影 $x : X \to P^{1}$ について、 $F = F_{y} = 0$ となる点や $x = \infty$ の上の点を調べ、各点の分岐指数 $e_{p}$ を局所的な展開から求めて、各ファイバーで $\sum_{p} e_{p} = de g x$ を確かめられる

前提

ローラン展開（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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ローラン展開（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

説明

既約な多項式 $F (x, y)$ が定める平面曲線 $F (x, y) = 0$ について、それが滑らかな曲線（ $F = F_{x} = F_{y} = 0$ となる点がない）ならそのまま、特異点があればそれを正規化（特異点を分枝ごとに別の点に分けてなめらかにする操作）したうえで、 $x = \infty$ の上の点を付け加えるとコンパクトなリーマン面 $X$ が得られ、座標 $x$ は正則写像 $x : X \to P^{1}$ （ $P^{1} = C \cup {\infty}$ ）を与えます。この技能では、各点 $p$ で $x$ が「何重に重なっているか」を表す分岐指数 $e_{p}$ を局所的な展開から求め、どのファイバー（1 つの値 $a$ の逆像 $x^{- 1} (a)$ ）でも $\sum_{p \in x^{- 1} (a)} e_{p}$ が同じ数、すなわち写像の次数 $de g x$ になることを確かめます。分岐点の一覧と分岐指数は、曲線の種数の計算や、関数の零点・極の数え上げの出発点になります。

なぜそうしてよいのか

分岐指数の定義. $p \in X$ のまわりの局所座標 $t$ （ $t (p) = 0$ ）をとり、 $x (p) = a$ が有限なら $x - a$ 、 $a = \infty$ なら $\frac{1}{x}$ を $t$ のべき級数で表すと、 $c t^{e} + (高次の項)$ （ $c \neq = 0$ , $e \geq 1$ ）の形になります。この $e$ が分岐指数 $e_{p}$ です（局所座標の取り方によりません）。 $c t^{e} (1 + \dots)$ の $(1 + \dots)$ の $e$ 乗根をとって座標を $s$ に取り直すと $x - a = s^{e}$ と書けるので、 $a$ に近い値 $a + ε$ （ $ε \neq = 0$ ）は $p$ の近くでちょうど $e$ 個の点 $s = ε^{1/ e} \cdot (1 の e 乗根)$ でとられます。つまり $e_{p}$ は「 $p$ の近くで $x$ が近い値を何回とるか」です。

平面曲線での求め方. この技能では、有限の部分では滑らかな曲線（ $F_{x}$ と $F_{y}$ が曲線上で同時に $0$ にならない）だけを扱います。 $F (p) = 0$ かつ $F_{y} (p) \neq = 0$ なら、陰関数定理（ $F_{y} \neq = 0$ の点の近くで $F (x, y) = 0$ は $y = φ (x)$ と正則関数で解ける）により $x - a$ 自身が局所座標になるので $e_{p} = 1$ です。 $F_{y} (p) = 0$ なら仮定から $F_{x} (p) \neq = 0$ で、今度は $x$ を $y$ の正則関数として解けるので $y - b$ （ $b = y (p)$ ）が局所座標になり、 $x - a$ を $y - b$ で展開したときの最低次数が $e_{p}$ です。 $x = \infty$ の上では $x = \frac{1}{u}$ とおき、 $u \to 0$ での $y$ の振る舞いを $u = s^{k}$ の形の置き換えとローラン展開で調べます。 $y$ が $s$ のローラン級数で表される 1 つ 1 つの分枝が $\infty$ の上の 1 点にあたり（射影平面での閉包が無限遠で特異でも、こうして分枝ごとに点を付け加えることが正規化にあたります）、そのような最小の $k$ がその点での $e_{p}$ です。

$\sum e_{p} = de g x$ の理由. $F$ の $y$ についての次数を $n$ とし、 $y^{n}$ の係数が $0$ でない定数とします。 $F (a, y) = 0$ が重解をもつ $a$ は有限個なので、それ以外の $a$ では $F (a, y) = 0$ は異なる $n$ 個の解をもち、それらの点ではすべて $F_{y} \neq = 0$ 、 $e_{p} = 1$ です。よって一般のファイバーは $n$ 点で、 $de g x = n$ と定めます。任意の値 $a$ をとり、ファイバー $x^{- 1} (a)$ の各点 $p$ のまわりに互いに交わらない小さな近傍 $U_{p}$ をとります。 $X$ はコンパクトなので、 $a^{'}$ が $a$ に十分近ければ $x^{- 1} (a^{'})$ の点はすべてどれかの $U_{p}$ に入ります（そうでなければ、 $x$ の値が $a$ に近づくのに $U_{p}$ たちの外にある点の列がとれ、その集積点は $x$ の連続性からファイバー $x^{- 1} (a)$ に属するはずで矛盾）。一方、各 $U_{p}$ の中には値 $a^{'}$ をとる点がちょうど $e_{p}$ 個あります。 $a^{'}$ を一般の値にとれば点の総数は $n$ なので、 $\sum_{p \in x^{- 1} (a)} e_{p} = n = de g x$ がどの $a$ （ $\infty$ も含む）でも成り立ちます。

手順

$F$ の $y$ についての次数 $n$ を読み、一般のファイバーの点の数から $de g x = n$ とする。
連立方程式 $F = 0$ , $F_{y} = 0$ を解いて分岐の候補の点を求める（それ以外の有限の点では $e_{p} = 1$ ）。各候補で $F_{x} \neq = 0$ を確かめる。 $F = F_{x} = F_{y} = 0$ となる点（特異点）があれば、その点は正規化が必要でこの手順の範囲外なので、この技能では扱わない。
各候補 $p = (a, b)$ （ $F_{y} = 0$ , $F_{x} \neq = 0$ ）で、 $y - b$ を局所座標として $x - a$ を展開し、最低次数を $e_{p}$ とする（ $F = 0$ を $x - a = \dots$ の形に解いて先頭の項を見る）。
$x = \frac{1}{u}$ とおいて $u \to 0$ での $y$ の振る舞いを調べ、 $u = s^{k}$ と置き換えて $y$ が $s$ のローラン級数で表せる最小の $k$ を求める。 $\infty$ の上の点（分枝）の個数と、各点の $e_{p}$ （ $= k$ ）が決まる。
すべての分岐する値 $a$ （ $\infty$ も含む）について $\sum_{p \in x^{- 1} (a)} e_{p} = de g x$ となることを確かめる。

例題

曲線 $y^{2} = x^{3} - x$ に無限遠の上の点を付け加えて得られるコンパクトなリーマン面を $X$ とし、正則写像 $x : X \to P^{1}$ を考える。 $X$ のすべての点 $p$ にわたる和 $\sum_{p \in X} (e_{p} - 1)$ を求めよ。

例題の解答

$F (x, y) = y^{2} - x^{3} + x$ とする。

手順 1: $F$ は $y$ について 2 次で $y^{2}$ の係数は $1$ なので、 $de g x = 2$ 。

手順 2: $F_{y} = 2 y = 0$ より $y = 0$ 、これを $F = 0$ に入れて $x^{3} - x = 0$ 、 $x = 0, \pm 1$ 。候補は $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(- 1, 0)$ 。ここで $F_{x} = - 3 x^{2} + 1$ はそれぞれ $1$ , $- 2$ , $- 2$ で $0$ でない（特異点はない）。これ以外の有限の点では $e_{p} = 1$ 。

手順 3: 各候補で $y$ を局所座標とする。
・ $(0, 0)$ : $x = \frac{y ^{2}}{x ^{2} - 1}$ で、 $x \to 0$ のとき $\frac{1}{x ^{2} - 1} \to - 1$ なので $x = - y^{2} + (高次)$ 。 $e_{p} = 2$ 。
・ $(1, 0)$ : $x - 1 = \frac{y ^{2}}{x ( x + 1 )}$ で、 $\frac{1}{x ( x + 1 )} \to \frac{1}{2}$ なので $x - 1 = \frac{1}{2} y^{2} + \dots$ 。 $e_{p} = 2$ 。
・ $(- 1, 0)$ : $x + 1 = \frac{y ^{2}}{x ( x - 1 )}$ で、 $\frac{1}{x ( x - 1 )} \to \frac{1}{2}$ なので $x + 1 = \frac{1}{2} y^{2} + \dots$ 。 $e_{p} = 2$ 。

手順 4: $x = \frac{1}{u}$ とおくと $y^{2} = \frac{1 - u ^{2}}{u ^{3}}$ 。 $u^{- 3}$ の次数が奇数なので、 $u$ が $0$ のまわりを 1 周すると $y$ の 2 つの値が入れ替わり、 $k = 1$ では $y$ を $u$ のローラン級数で表せない。 $u = s^{2}$ とおくと $y = s^{- 3} (1 - s^{4})^{1/2} = s^{- 3} (1 - \frac{1}{2} s^{4} - \dots)$ と $s$ のローラン級数で表せる（ $s \mapsto - s$ でもう一方の符号の分枝に移るので、分枝は 1 つ）。よって $\infty$ の上の点はただ 1 つで、そこで $\frac{1}{x} = u = s^{2}$ より $e_{p} = 2$ 。

手順 5: 値 $0, 1, - 1, \infty$ のファイバーはどれも 1 点で $e_{p} = 2 = de g x$ 、他の値のファイバーは 2 点で $e_{p} = 1 + 1 = 2$ 。確かに $\sum e_{p} = de g x$ が成り立つ。

以上より、 $e_{p} \geq 2$ となる点は 4 個で、いずれも $e_{p} = 2$ だから $\sum_{p \in X} (e_{p} - 1) = 4 \times 1 = 4$ 。

答え: $4$

よくある誤り

$x = \infty$ の上の点を調べ忘れる誤り。 $y^{2} = x^{3} - x$ で有限の点だけを見ると $\sum (e_{p} - 1) = 3$ となるが、 $\infty$ の上にも $e_{p} = 2$ の点があり、正しくは $4$ 。 $x = \frac{1}{u}$ とおいて必ず調べる。
$F_{y} = 0$ の点ではいつも $e_{p} = 2$ としてしまう誤り。例えば $y^{3} = x$ の点 $(0, 0)$ では $x = y^{3}$ なので $e_{p} = 3$ 。 $x - a$ を局所座標 $y - b$ で展開して最低次数を読む。
$\infty$ の上でも必ず分岐するとしてしまう誤り。 $y^{2} = x^{4} - 1$ では $x = \frac{1}{u}$ で $y^{2} = \frac{1 - u ^{4}}{u ^{4}}$ となり、 $u^{- 4}$ の次数が偶数なので $y = \pm u^{- 2} (1 - u^{4})^{1/2}$ と 2 つの値が $u$ のローラン級数として別々に表せる。 $\infty$ の上には 2 点あり、それぞれ $e_{p} = 1$ （ $1 + 1 = 2 = de g x$ ）。
$F_{y} \neq = 0$ で $F_{x} = 0$ の点で $y - b$ を局所座標とみなして分岐指数を読んでしまう誤り。例えば $y^{2} = x^{3} - x$ で $F_{x} = 1 - 3 x^{2} = 0$ となる $a = \frac{1}{3}$ の上の点 $p = (a, b)$ （ $b^{2} = a^{3} - a \neq = 0$ ）では、 $y$ の値が極値をとり $y - b = \frac{3 a}{2 b} (x - a)^{2} + \dots$ となるので「 $e_{p} = 2$ 」と読みたくなるが、これは写像 $y$ の分岐であって $x$ の分岐ではない。正しくは $F_{y} = 2 b \neq = 0$ なので $x - a$ 自身が局所座標で $e_{p} = 1$ （ $y - b$ は $p$ で 2 位の零点をもつので局所座標にならない）。局所座標は、 $F_{y} \neq = 0$ なら $x - a$ 、 $F_{y} = 0$ で $F_{x} \neq = 0$ なら $y - b$ と使い分ける。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
複素アフィン平面曲線
$y^{3} = x (x - 1)$
を考える。多項式 $F (x, y) = y^{3} - x^{2} + x$ は $C [x, y]$ で既約であり、この曲線の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面を $X$ とする。座標関数 $x$ が定める正則写像 $x : X \to P^{1}$ （次数 $3$ ）について、点 $p \in X$ における分岐指数を $e_{p}$ とする。総和
$p \in X \sum (e_{p} - 1)$
を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リーマン・フルヴィッツの公式（大学院数学複素解析・リーマン面）
因子と L(D) （大学院数学複素解析・リーマン面）