因子と L(D)

曲線上の有理関数 $h$ の零点・極の位数から $div (h)$ を求め、 $de g div (h) = 0$ を確かめられる。 $L (D) = {h ∣ div (h) + D \geq 0} \cup {0}$ の元を $x$ , $y$ の式として書き出し、小さな $D$ について基底を求められる

前提

正則写像の次数と分岐指数（大学院数学複素解析・リーマン面）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（71 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
正則写像の次数と分岐指数（大学院数学複素解析・リーマン面）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）

説明

曲線 $X$ 上の点に整数を割り当てた形式的な和 $D = \sum_{p} n_{p} p$ （有限和）を因子といい、 $de g D = \sum_{p} n_{p}$ をその次数、すべての $n_{p} \geq 0$ のとき $D \geq 0$ と書きます。0 でない有理関数 $h$ には、各点での位数 $ord_{p} (h)$ （零点なら正、極なら負）を並べた因子 $div (h) = \sum_{p} ord_{p} (h) p$ が対応します。この技能では、射影 $x : X \to P^{1}$ の分岐指数を使って $div (h)$ を求め、さらに「 $D$ で許した範囲までしか極をもたない関数」の空間 $L (D) = {h ∣ div (h) + D \geq 0} \cup {0}$ の基底を $x$ , $y$ の式で書き出します。 $L (D)$ は、決められた場所にだけ決められた位数までの極を許したときに、曲線上にどれだけ関数があるかを測る道具で、曲線の埋め込みや種数の計算の出発点になります。

なぜそうしてよいのか

位数の計算は分岐指数に帰着します。点 $p$ の局所座標を $t$ とし、 $x (p) = a$ （有限）のとき $x - a$ は $p$ の近くで $t^{e_{p}} \times (0 でない値をとる関数)$ と展開されるので $ord_{p} (x - a) = e_{p}$ 、 $x (p) = \infty$ のときは $1/ x$ について同じことが言えて $ord_{p} (x) = - e_{p}$ です。位数には $ord_{p} (g h) = ord_{p} (g) + ord_{p} (h)$ という性質があるので（ローラン展開の最低次の項どうしの積を見ればわかります）、 $y^{2} = f (x)$ のような関係式から両辺の位数を比べて $ord_{p} (y)$ も決まります。

$de g div (h) = 0$ になる理由は、 $x$ については前提の技能そのものです。 $x$ の零点は $x = 0$ のファイバー、極は $x = \infty$ のファイバーで、どちらも $\sum e_{p} = de g x$ なので、零点の個数と極の個数（重複度込み）が等しくなります。一般の $h$ でも $h : X \to P^{1}$ を正則写像と見れば同じ議論が使えるので、コンパクトな曲線上では「零点の個数＝極の個数」が成り立ちます。計算した $div (h)$ の次数が 0 にならなければ、どこかの点を見落としているという検算になります。

$L (D)$ がベクトル空間になるのは、 $ord_{p} (g + h) \geq min (ord_{p} g, ord_{p} h)$ と $ord_{p} (c h) = ord_{p} h$ （ $c \neq = 0$ は定数）から、条件「すべての $p$ で $ord_{p} (h) \geq - n_{p}$ 」が和とスカラー倍で保たれるからです（ $h = 0$ はどんな条件も満たすものとして加えておきます）。 $D = \sum n_{p} p$ の $n_{p} > 0$ の点では位数 $n_{p}$ までの極を許し、 $n_{p} < 0$ の点では位数 $- n_{p}$ 以上の零点を要求する、と読みます。基底を求めるには、候補の関数を並べて各点での極の位数を比べ、一次独立性を確かめます。極の位数が互いに異なる関数たちは、最も高い位数の極を打ち消す相手がいないので必ず一次独立です。

手順

曲線の式 $F (x, y) = 0$ と射影 $x : X \to P^{1}$ について、分岐する点（ $F = F_{y} = 0$ の点）と $x = \infty$ の上の点を調べ、各点の分岐指数 $e_{p}$ を求めておく
$h$ の零点・極の候補となる点（ $x$ , $y$ の零点、 $x = \infty$ の上の点など）を挙げ、 $ord_{p} (x - a) = e_{p}$ 、 $ord_{p} (x) = - e_{p}$ （ $x (p) = \infty$ ）と、 $y^{2} = f (x)$ などの関係式の両辺の位数比較 $2 ord_{p} (y) = ord_{p} (f (x))$ から各点での位数を決める
$ord_{p} (g h) = ord_{p} g + ord_{p} h$ を使って $div (h) = \sum_{p} ord_{p} (h) p$ を組み立て、 $de g div (h) = 0$ になることを確かめる
$L (D)$ を求めるときは、条件 $ord_{p} (h) \geq - n_{p}$ （すべての $p$ ）を書き下し、極が許される場所にだけ極をもつ関数の一般形（例: $a (x) + b (x) y$ ）を用意する
一般形の各項の極の位数を計算して条件を満たす項だけを残し、残った関数が一次独立であること（極の位数が互いに異なることなど）を確かめて基底と $dim L (D)$ を答える

例題

複素数体上の曲線 $E : y^{2} = x^{3} - x$ を考え、 $x = \infty$ の上にただ 1 つある点を $O$ とする。 $E$ 上の有理関数で $O$ 以外に極をもたないものは、多項式 $a (x)$ , $b (x)$ を用いて $a (x) + b (x) y$ とただ一通りに表せることを用いてよい。 $dim L (4 O)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（分岐指数） $F = y^{2} - x^{3} + x$ とすると $de g x = 2$ です。 $x = \infty$ の上の点は $O$ ただ 1 つなので $e_{O} = 2$ です（ $\sum e_{p} = 2$ ）。

手順 2（位数） $x (O) = \infty$ , $e_{O} = 2$ より $ord_{O} (x) = - 2$ です。関係式 $y^{2} = x^{3} - x$ の両辺の $O$ での位数を比べると、 $x^{3} - x$ の位数は最も強い極 $x^{3}$ で決まり $- 6$ なので、 $2 ord_{O} (y) = - 6$ 、すなわち $ord_{O} (y) = - 3$ です。

手順 3（検算） 参考に $div (x)$ を求めると、 $x = 0$ の上の点は $F = F_{y} = 0$ を満たす $P_{0} = (0, 0)$ だけで $e_{P_{0}} = 2$ なので $div (x) = 2 P_{0} - 2 O$ 、次数は $2 - 2 = 0$ で正しく 0 になっています。

手順 4（一般形） $L (4 O)$ の元 $h \neq = 0$ は $O$ 以外に極をもたず $ord_{O} (h) \geq - 4$ を満たすものです。仮定より $h = a (x) + b (x) y$ と書けます。

手順 5（極の位数で絞る） $de g a = m$ なら $ord_{O} (a (x)) = - 2 m$ （偶数）、 $de g b = k$ なら $ord_{O} (b (x) y) = - 2 k - 3$ （奇数）です。偶数と奇数は等しくならないので 2 つの項の極が打ち消し合うことはなく、 $h$ の極の位数は大きい方になります。したがって条件は $2 m \leq 4$ かつ $2 k + 3 \leq 4$ 、すなわち $de g a \leq 2$ , $de g b \leq 0$ です（ $a = 0$ や $b = 0$ の場合も含む）。よって
$L (4 O) = {c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} y}$
です。 $1, x, x^{2}, y$ の $O$ での極の位数は $0, 2, 4, 3$ と互いに異なるので一次独立です（自明でない一次結合をとると、係数が 0 でない項のうち極の位数が最大のものを打ち消す項がなく、0 にならない）。したがって基底は ${1, x, y, x^{2}}$ で、 $dim L (4 O) = 4$ です。

答え: $4$

よくある誤り

$x = \infty$ の上の点での位数を $ord_{O} (x) = - 1$ としてしまう誤り。分岐していれば位数は分岐指数だけ下がり、 $y^{2} = x^{3} - x$ では $e_{O} = 2$ なので $ord_{O} (x) = - 2$ 、さらに $ord_{O} (y) = - 3$ である。
分岐点での零点の位数を 1 と数えてしまう誤り。 $y^{2} = x^{3} - x$ の $P_{0} = (0, 0)$ では $e_{P_{0}} = 2$ なので $ord_{P_{0}} (x) = 2$ 、 $ord_{P_{0}} (y) = 1$ であり、 $div (y) = P_{0} + P_{1} + P_{- 1} - 3 O$ （ $P_{\pm 1} = (\pm 1, 0)$ ）となって次数 $3 - 3 = 0$ が確かめられる。 $ord_{P_{0}} (x) = 1$ とすると $div (x)$ の次数が $- 1$ になり矛盾する。
$L (D)$ の条件の向きを逆にして $div (h) \geq D$ としてしまう誤り。正しくは $div (h) + D \geq 0$ 、つまり $ord_{p} (h) \geq - n_{p}$ で、 $D = 4 O$ は「 $O$ で位数 4 までの極を許す」という意味である。たとえば $x^{2} \in L (4 O)$ だが $x^{2} \in / L (3 O)$ 。
$L (D)$ に定数関数 $1$ や $h = 0$ を入れ忘れる誤り。 $div (1) = 0$ なので $D \geq 0$ なら $1 \in L (D)$ であり、 $0$ は定義により常に $L (D)$ の元（ベクトル空間の零元）である。例題で $1$ を落とすと $dim L (4 O) = 3$ と誤る。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$X$ を、アフィン曲線 $y^{2} = x^{3} + 1$ の射影的非特異モデルとして得られるコンパクトリーマン面（種数 $1$ ）とし、 $x = \infty$ の上にあるただ 1 つの点を $P_{\infty}$ とする。 $P_{\infty}$ における位数は $ord_{P_{\infty}} (x) = - 2, ord_{P_{\infty}} (y) = - 3$ である。また、 $X$ 上の有理関数で極を $P_{\infty}$ 以外にもたないものは、複素係数の $1$ 変数多項式 $a (x)$ , $b (x)$ を用いてただ 1 通りに $a (x) + b (x) y$ と表されることを用いてよい。因子 $D = 5 P_{\infty}$ に対して $L (D) = {h ∣ div (h) + D \geq 0} \cup {0}$ と定めるとき、複素ベクトル空間 $L (D)$ の次元を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リーマン・ロッホの定理（大学院数学複素解析・リーマン面）