複素解析・リーマン面の問題

種数

$f(x)=x^8-1$ は相異なる 8 個の根 ${\zeta }^k$（$\zeta =e^{\pi i/4}$, $k=0,\dots ,7$）をもち、$\mathrm{deg}f=8$ は偶数なので $x=\infty$ では分岐しない。リーマン・フルヴィッツの公式より
$$2g-2=2\cdot (-2)+8=4$$
で $g=3$ である。

標準因子

$x$ の分岐点を $W_k=({\zeta }^k,0)$ とすると $\mathrm{div}(x-{\zeta }^k)=2W_k-{\infty }_{+}-{\infty }_{-}$、$\mathrm{div}(y)={\sum }_k{W}_k-4({\infty }_{+}+{\infty }_{-})$ である。${\infty }_{\pm }$ での局所座標 $t=1/x$ をとると $dx=-t^{-2}dt$ より $dx$ は ${\infty }_{\pm }$ で 2 位の極をもち、各 $W_k$ で 1 位の零点をもつ（$x-{\zeta }^k$ が局所座標の 2 乗だから）。よって
$$\mathrm{div}\left(\frac{dx}{y}\right)=\sum _k{W}_k-2({\infty }_{+}+{\infty }_{-})-\sum _k{W}_k+4({\infty }_{+}+{\infty }_{-})=2({\infty }_{+}+{\infty }_{-})$$
であり、$K=2({\infty }_{+}+{\infty }_{-})$ は標準因子である。正則微分の空間は
$$H^0(K)=\left\{h(x)\frac{dx}{y}|h\in \mathbb{C}[x],\mathrm{deg}h\le 2\right\}$$
で、次元は $3=g$ である。

リーマン・ロッホの定理

$\mathrm{deg}D=4$ なので
$$\ell (D)-\ell (K-D)=\mathrm{deg}D-g+1=4-3+1=2$$
である。$\ell (K-D)$ は、$\mathrm{div}(\omega )\ge D$ を満たす正則微分 $\omega$ の空間の次元に等しい。

$\omega =h(x)\frac{dx}{y}$（$h\ne 0$, $\mathrm{deg}h\le 2$）について
- ${\infty }_{\pm }$ での位数は $2-\mathrm{deg}h$ である。これが $1$ 以上なので $\mathrm{deg}h\le 1$
- $W$ での位数は、$h(1)\ne 0$ なら $0$、$h(1)=0$ なら ${\mathrm{ord}}_W(x-1)=2$ 以上である。これが $2$ 以上なので $h(1)=0$

よって $h=c(x-1)$（$c\in \mathbb{C}$）で、このとき $\mathrm{div}(\omega )=2W+{\infty }_{+}+{\infty }_{-}=D$ となり条件を満たす。したがって $\ell (K-D)=1$ である。

以上より
$$\ell (D)=2+1=3$$

（確認：$1,x,\frac{1}{x-1}$ はいずれも $L(D)$ に属し、1 次独立である。）

$y^2=x^8-1$ は超楕円曲線で、右辺は重根のない 8 次式なので種数 $g=(8-2)/2=3$。$\mathrm{deg}D=2+1+1=4$。

リーマン・ロッホより $\ell (D)=\mathrm{deg}D-g+1+\ell (K-D)=2+\ell (K-D)$。$K-D$ は次数 $0$ の因子なので、$\ell (K-D)=1$ となるのは $D\sim K$ のときだけで、そうでなければ $0$。

標準因子: 正則微分形式 $\omega =dx/y$ を考える。$x^8=1$ の 8 個の分岐点では $x-a$ が局所パラメータ $t$ に対し $x-a\sim t^2$ で、$dx\sim tdt$ は位数 1 の零点、$y\sim t$ も位数 1 の零点なので、$\omega$ は零点・極をもたない。${\infty }_{\pm }$ では $x$ が 1 位の極、$dx$ が 2 位の極、$y$ が 4 位の極なので $\omega$ は 2 位の零点をもつ。よって $\mathrm{div}(\omega )=2{\infty }_{+}+2{\infty }_{-}$（次数 $4=2g-2$ で整合）、すなわち $K\sim 2{\infty }_{+}+2{\infty }_{-}$。

一方、関数 $x-1$ の因子は $\mathrm{div}(x-1)=2W-{\infty }_{+}-{\infty }_{-}$（$x=1$ は分岐点で $W$ が唯一の点、${\infty }_{\pm }$ で 1 位の極）。よって $2W\sim {\infty }_{+}+{\infty }_{-}$、したがって
$D=2W+{\infty }_{+}+{\infty }_{-}\sim 2{\infty }_{+}+2{\infty }_{-}\sim K$。

ゆえに $\ell (K-D)=\ell (0)=1$、$\ell (D)=2+1=3$。

検算: $D\sim K$ より $\ell (D)=\ell (K)=g=3$。実際 $L(2{\infty }_{+}+2{\infty }_{-})$ は $1,x,x^2$ で張られ次元 3 となり一致する。