複素解析・リーマン面の問題

方針. リーマン・ロッホの定理
$$\ell (D)-\ell (K-D)=\mathrm{deg}D-g+1$$
を使う。そのために標準因子 $K$ を具体的に書き、$\ell (K-D)$ を求める。

1. 標準因子. 超楕円曲線 $y^2=f(x)$（$\mathrm{deg}f=2g+2$）では $\frac{x^{i}dx}{y}$（$i=0,1,\dots ,g-1$）が正則微分の基底である。$\omega =\frac{dx}{y}$ の因子を調べる。
- ${\infty }_{\pm }$ では $x$ は 1 位の極なので $dx$ は 2 位の極、$y$ は $\mathrm{deg}f/2=4$ 位の極。よって $\omega$ の位数は $-2+4=2$。
- $x^8+x=0$ となる $8$ 個の分岐点では、$dx$ と $y$ がどちらも 1 位の零点なので $\omega$ の位数は $0$。
- それ以外の点では $dx$ も $y$ も零点・極をもたない。

よって $K=\mathrm{div}(\omega )=2{\infty }_{+}+2{\infty }_{-}$ である（$\mathrm{deg}K=4=2g-2$ と合っている）。

2. $\ell (K-D)$ を求める.
$$K-D=(2{\infty }_{+}+2{\infty }_{-})-(2{\infty }_{+}+{\infty }_{-})={\infty }_{-}.$$
$L({\infty }_{-})$ には定数関数が入るので $\ell ({\infty }_{-})\ge 1$。もし $\ell ({\infty }_{-})\ge 2$ なら、${\infty }_{-}$ にだけ 1 位の極をもつ有理型関数が存在し、それは $X\to {\mathbb{P}}^1$ の次数 $1$ の写像、すなわち同型になってしまい $g=3$ に反する。よって $\ell (K-D)=1$。

3. リーマン・ロッホの定理. $\mathrm{deg}D=3$, $g=3$ なので
$$\ell (D)=\mathrm{deg}D-g+1+\ell (K-D)=3-3+1+1=2.$$

（確認: $1$ と $x$ はどちらも $L(D)$ に入り、一次独立である。$x$ の極は ${\infty }_{+}+{\infty }_{-}$ で、$D$ 以下である。）

よって $\ell (D)=2$。

$X$ の種数は 3、$\mathrm{deg}D=3$。リーマン・ロッホより $\ell (D)=\mathrm{deg}D-g+1+\ell (K-D)=1+\ell (K-D)$。\n\n$K-D$ を調べる。正則微分形式は $x^{k}dx/y$ ($k=0,1,2$) が基底。$x$ は ${\infty }_{\pm }$ で 1 位の極をもち、$y$ は 4 位の極をもつので、$dx/y$ は ${\infty }_{\pm }$ で 2 位の零点をもち、$x^{k}dx/y$ は ${\infty }_{\pm }$ で $(2-k)$ 位の零点をもつ（有限部分に極はない）。$\ell (K-D)$ は ${\infty }_{+}$ で位数 $\ge 2$、${\infty }_{-}$ で位数 $\ge 1$ の零点をもつ正則微分形式の空間の次元。$\omega =(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2)dx/y$ の ${\infty }_{+}$ での位数が 2 以上であるためには $c_1=c_2=0$ が必要（最低次の $x$ の係数から順に消える）で、このとき ${\infty }_{-}$ でも位数 2 以上。したがって $\ell (K-D)=1$。\n\nよって $\ell (D)=1+1=2$。\n\n検算（直接計算）: $L(D)$ の元は多項式 $a(x),b(x)$ により $h=a+by$ と書ける（極は ${\infty }_{\pm }$ のみ）。$y=\pm x^4(1+x^{-7}{)}^{1/2}$ を ${\infty }_{\pm }$ で展開すると、${\infty }_{+}$ で $a+b{y}_{+}$、${\infty }_{-}$ で $a-b{y}_{+}$ の極の位数が各 $\le 2$, $\le 1$。両者の和・差より $\mathrm{deg}a\le 2$、$\mathrm{deg}(b{y}_{+})\le 2$。$b\ne 0$ なら $\mathrm{deg}(b{y}_{+})\ge 4$ なので $b=0$。$a$ は ${\infty }_{-}$ の条件から $\mathrm{deg}a\le 1$。よって $L(D)=\{a_0+a_{1}x\}$ で次元 2。一致。