リーマン・フルヴィッツの公式

次数 $n$ の正則写像 $f : X \to Y$ について $2 g_{X} - 2 = n (2 g_{Y} - 2) + \sum_{p} (e_{p} - 1)$ を使い、分岐の情報から曲線の種数を求められる（例: $y^{3} - 3 y = x^{4}$ の種数、非特異平面 $d$ 次曲線の種数 $\frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ ）

前提

正則写像の次数と分岐指数（大学院数学複素解析・リーマン面）

この技能までの道筋（59 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
正則写像の次数と分岐指数（大学院数学複素解析・リーマン面）

説明

リーマン・フルヴィッツの公式は、コンパクトリーマン面（射影曲線）の間の次数 $n$ の定数でない正則写像 $f : X \to Y$ について $2 g_{X} - 2 = n (2 g_{Y} - 2) + \sum_{p \in X} (e_{p} - 1)$ が成り立つことを述べます。 $Y$ の種数がわかっていれば（典型的には $Y = P^{1}$ で $g_{Y} = 0$ ）、写像の次数と分岐の様子だけから $X$ の種数が計算できます。平面曲線 $F (x, y) = 0$ の種数を、座標 $x$ への射影 $x : X \to P^{1}$ の分岐を調べて求めるのが代表的な使い方です。

なぜそうしてよいのか

コンパクトな曲面の種数 $g$ は、曲面を三角形に分割したときの頂点数 $V$ ・辺数 $E$ ・面数 $F$ から作るオイラー標数 $χ = V - E + F$ と $χ = 2 - 2 g$ の関係で結ばれています（ $χ$ は分割の仕方によらない）。そこで $Y$ を、 $f$ の分岐値（分岐点 $p$ の像）がすべて頂点になるように三角形分割し、それを $f$ で引き戻して $X$ の三角形分割を作ります。分岐値を含まない辺や面の内部では $f$ は $n$ 対 1 の被覆なので、各辺・各面のちょうど $n$ 個の持ち上げがあり、 $E_{X} = n E_{Y}$ , $F_{X} = n F_{Y}$ です。

頂点だけは事情が違います。 $Y$ の点 $q$ の逆像は、分岐指数を数えれば $\sum_{p \in f^{- 1} (q)} e_{p} = n$ ですが、点としての個数は $# f^{- 1} (q) = n - \sum_{p \in f^{- 1} (q)} (e_{p} - 1)$ です。分岐点 $p$ の近くで $f$ は局所座標で $z \mapsto z^{e_{p}}$ の形なので、 $e_{p}$ 枚のシートが 1 点にくっついていて、その分だけ点が減るからです。したがって $V_{X} = n V_{Y} - \sum_{p \in X} (e_{p} - 1)$ となり、
$χ (X) = n χ (Y) - p \in X \sum (e_{p} - 1)$
を得ます。 $χ = 2 - 2 g$ を代入して符号を変えたものがリーマン・フルヴィッツの公式 $2 g_{X} - 2 = n (2 g_{Y} - 2) + \sum_{p} (e_{p} - 1)$ です。分岐点は有限個しかないので右辺の和は有限和です。

たとえば非特異な平面 $d$ 次曲線では、一般の点から射影すると次数 $d$ の写像 $X \to P^{1}$ になり、分岐点は $d (d - 1)$ 個（ $F = 0$ と $F_{y} = 0$ の交点）ですべて $e_{p} = 2$ です。すると $2 g - 2 = d (- 2) + d (d - 1)$ から $g = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$ が得られます。

手順

曲線 $X$ を、特異点を解消したコンパクトリーマン面（非特異射影モデル）として考え、正則写像 $f : X \to Y$ （多くは $x : X \to P^{1}$ ）とその次数 $n$ を決める。 $Y = P^{1}$ なら $g_{Y} = 0$
有限の部分の分岐点の候補を、 $F = F_{y} = 0$ を解いて求める
$x = \infty$ の上の点を、 $t = 1/ x$ と置いて調べる（無限遠を忘れない）
各候補点で局所的な展開から分岐指数 $e_{p}$ を求め、各ファイバーで $\sum e_{p} = n$ になることを確かめる
$R = \sum_{p} (e_{p} - 1)$ を計算し、 $2 g_{X} - 2 = n (2 g_{Y} - 2) + R$ に代入して $g_{X}$ を解く（ $R$ が偶数でなければ計算のどこかが誤り）

例題

$X$ を曲線 $y^{2} = x^{6} - 1$ の非特異射影モデル（コンパクトリーマン面）とする。 $X$ の種数 $g$ を求めよ。

例題の解答

（手順 1）射影 $x : X \to P^{1}$ を考える。一般の $x$ に対して $y$ は 2 つの値をとるので次数は $n = 2$ 、 $g_{Y} = 0$ である。

（手順 2） $F = y^{2} - x^{6} + 1$ とすると $F_{y} = 2 y$ 。 $F = F_{y} = 0$ から $y = 0$ , $x^{6} = 1$ で、 $x = ζ$ （ $ζ^{6} = 1$ の 6 個の根）の 6 点が候補。 $x = ζ$ の近くで $x^{6} - 1 = 6 ζ^{5} (x - ζ) + \dots$ なので $y^{2} = c (x - ζ) (1 + \dots)$ （ $c = 6 ζ^{5} \neq = 0$ ）。 $y$ を局所座標にとると $x - ζ$ は $y^{2}$ の定数倍から始まるので、この点の分岐指数は $e_{p} = 2$ 。

（手順 3） $t = 1/ x$ とおくと $y^{2} = t^{- 6} (1 - t^{6})$ なので $(t^{3} y)^{2} = 1 - t^{6}$ 。 $t = 0$ で $t^{3} y = \pm 1$ の 2 つの値をとり、 $t$ の近くでどちらも $t$ の正則関数として分かれる。よって $x = \infty$ の上には 2 点があり、どちらも $e_{p} = 1$ （分岐しない）。

（手順 4） $x = ζ$ のファイバーは 1 点で $e_{p} = 2 = n$ 、 $x = \infty$ のファイバーは 2 点で $1 + 1 = 2 = n$ 。整合している。

（手順 5） $R = 6 \times (2 - 1) = 6$ （偶数）。リーマン・フルヴィッツの公式より
$2 g - 2 = 2 \cdot (0 - 2) + 6 = 2$
なので $g = 2$ 。

答え: $2$

よくある誤り

和を $\sum_{p} e_{p}$ としてしまう誤り。正しくは $\sum_{p} (e_{p} - 1)$ で、分岐しない点（ $e_{p} = 1$ ）は寄与しない。たとえば上の例で $\sum e_{p}$ を使うと分岐しない点まで数えてしまい、種数が決まらない。
$x = \infty$ の上の点を調べ忘れる誤り。たとえば $y^{2} = x^{5} - x$ では $F = F_{y} = 0$ から有限の分岐点は 5 個だが、 $t = 1/ x$ とおくと $\infty$ の上はただ 1 点で $e = 2$ になり、 $R = 6$ 、 $2 g - 2 = - 4 + 6$ から $g = 2$ が正しい（ $\infty$ を忘れると $R = 5$ が奇数になり矛盾する）。
公式の左辺と右辺で $2 g - 2$ と $g$ を取り違える誤り（例: $g_{X} = n g_{Y} + \frac{1}{2} \sum (e_{p} - 1)$ としてしまう）。正しくは $2 g_{X} - 2 = n (2 g_{Y} - 2) + \sum (e_{p} - 1)$ で、 $Y = P^{1}$ のとき右辺の第 1 項は $- 2 n$ である。
特異点をもつ平面曲線で、特異点をそのまま 1 点として数えて分岐指数を決めてしまう誤り。公式は非特異モデル $X$ の点ごとに使うもので、特異点の上に $X$ の点がいくつあるか（分枝がいくつあるか）を局所的な展開で分けてから、それぞれの $e_{p}$ を求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$X$ を連結なコンパクトリーマン面とし、 $f : X \to P^{1}$ を次数 $3$ の正則写像とする。 $f$ の分岐点（分岐指数 $e_{p} \geq 2$ となる点 $p \in X$ ）はちょうど $6$ 個あり、そのうち $4$ 個では分岐指数が $e_{p} = 2$ 、残りの $2$ 個では $e_{p} = 3$ であるとする。 $X$ の種数 $g_{X}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$y^{n} = f (x)$ 型曲線の分岐と種数（大学院数学複素解析・リーマン面）
有限群による商リーマン面の種数（大学院数学複素解析・リーマン面）
リーマン・ロッホの定理（大学院数学複素解析・リーマン面）