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複素解析・リーマン面の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学複素解析・リーマン面

$X$ を種数 $g$ （ $g \geq 0$ ）の連結なコンパクトリーマン面とし、 $σ : X \to X$ を $σ \neq = id_{X}$ , $σ \circ σ = id_{X}$ をみたす双正則写像とする。 $σ$ の固定点全体を $F = {p \in X : σ (p) = p}$ とおく。

このとき、 $F$ は有限集合であり、その個数 $r = # F$ はある $0$ 以上の整数 $h$ を用いて $r = 2 g + 2 - 4 h$ と表せることを証明せよ（特に $r \leq 2 g + 2$ かつ $r \equiv 2 g + 2 (mod 4)$ である）。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 商空間 $Y = X / ⟨ σ ⟩$ は連結なコンパクトリーマン面の構造をもち、商写像 $π : X \to Y$ は次数 $2$ の正則写像で、各 $p \in X$ に対し $π^{- 1} (π (p)) = {p, σ (p)}$ である。
- 連結なコンパクトリーマン面の間の定数でない正則写像 $f : X \to Y$ の次数を $d$ とすると、各 $y \in Y$ で $\sum_{q \in f^{- 1} (y)} e_{q} (f) = d$ （ $e_{q} (f)$ は $q$ での分岐指数）であり、分岐指数が $2$ 以上の点は有限個で、リーマン・フルヴィッツの公式 $2 g (X) - 2 = d (2 g (Y) - 2) + \sum_{q \in X} (e_{q} (f) - 1)$ が成り立つ。

この問題で使うもの

リーマン・フルヴィッツの公式（説明と入口の問題）
有限群による商リーマン面の種数（説明と入口の問題）
正則写像の次数と分岐指数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（96 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

商写像 $π : X \to X / ⟨ σ ⟩$ に対してリーマン・フルヴィッツの公式を使う。そのために $π$ の分岐点を決める。

ヒント 2

ファイバー $π^{- 1} (π (p)) = {p, σ (p)}$ と、ファイバー上の分岐指数の和が次数 $2$ に等しいことを組み合わせる。

ヒント 3

$σ (p) = p$ ならファイバーは 1 点なので $e_{p} = 2$ 、 $σ (p) \neq = p$ なら 2 点なので $e_{p} = 1$ 。よって分岐点はちょうど固定点で、分岐の総和 $\sum (e_{q} - 1)$ は固定点の個数になる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

固定点 $p$ ではファイバーが ${p}$ の 1 点となり、分岐指数の和が次数 $2$ であることから $e_{p} (π) = 2$ を導いている（3 点）
固定点でない $p$ ではファイバーが相異なる 2 点となり、 $e_{p} (π) = 1$ であることを示している（2 点）
分岐点がちょうど固定点であることから $F$ が有限集合であることを述べている（1 点）
分岐の総和 $\sum (e_{q} - 1)$ が $r$ であることを確認し、次数 $2$ でリーマン・フルヴィッツの公式を適用して $2 g - 2 = 2 (2 h - 2) + r$ を得ている（3 点）
$h = g (Y) \geq 0$ から $r = 2 g + 2 - 4 h$ 、 $r \leq 2 g + 2$ 、 $r \equiv 2 g + 2 (mod 4)$ を結論している（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

$Y = X / ⟨ σ ⟩$ , $π : X \to Y$ を問題文の事実のとおりとし、 $h = g (Y)$ を $Y$ の種数とする。 $h$ は $0$ 以上の整数である。

Step 1（固定点での分岐指数は $2$ ）. $p \in F$ とし $y = π (p)$ とおく。 $π^{- 1} (y) = {p, σ (p)} = {p}$ である。 $π$ の次数は $2$ なので
$q \in π^{- 1} (y) \sum e_{q} (π) = e_{p} (π) = 2.$

Step 2（固定点でない点では不分岐）. $p \in / F$ とし $y = π (p)$ とおく。 $π^{- 1} (y) = {p, σ (p)}$ で $p \neq = σ (p)$ だから
$e_{p} (π) + e_{σ (p)} (π) = 2.$
分岐指数は $1$ 以上の整数なので $e_{p} (π) = e_{σ (p)} (π) = 1$ 。

Step 3（ $F$ の有限性）. Step 1, 2 より $F = {p \in X : e_{p} (π) \geq 2}$ であり、 $π$ は連結なコンパクトリーマン面の間の定数でない正則写像（次数 $2$ ）なので、分岐指数が $2$ 以上の点は有限個である。よって $F$ は有限集合で、 $r = # F$ とおける。

Step 4（リーマン・フルヴィッツの公式）. Step 1, 2 より
$q \in X \sum (e_{q} (π) - 1) = q \in F \sum (2 - 1) + q \in / F \sum (1 - 1) = r .$
$π$ に対してリーマン・フルヴィッツの公式を適用すると（ $d = 2$ ）
$2 g - 2 = 2 (2 h - 2) + r = 4 h - 4 + r .$
したがって
$r = 2 g + 2 - 4 h .$

Step 5（結論）. $h = g (Y)$ は $0$ 以上の整数なので、 $r = 2 g + 2 - 4 h$ は求める形の表示である。特に $4 h \geq 0$ より $r \leq 2 g + 2$ 、また $r - (2 g + 2) = - 4 h$ は $4$ の倍数なので $r \equiv 2 g + 2 (mod 4)$ 。

以上で、 $F$ が有限集合であり、 $# F = 2 g + 2 - 4 h$ （ $h \geq 0$ は整数で、 $h$ は商 $X / ⟨ σ ⟩$ の種数）と表せることが示された。 $■$

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