有限群による商リーマン面の種数

有限群 $H$ が $X$ に作用するとき、各元の固定点と固定部分群の位数から商写像 $X \to X / H$ の分岐指数を求め、リーマン・フルヴィッツの公式で商 $X / H$ の種数を求められる

前提

リーマン・フルヴィッツの公式（大学院数学複素解析・リーマン面）
平面曲線の種数公式（大学院数学代数幾何）

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算数中学高校大学大学院

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行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
拡大次数と次数の積の公式（大学数学代数学）
有限体の構造と部分体（大学数学代数学）
射影平面曲線と斉次化（大学院数学代数幾何）
平面曲線の特異点と重複度（大学院数学代数幾何）
平面曲線の種数公式（大学院数学代数幾何）

説明

コンパクトで連結なリーマン面 $X$ に有限群 $H$ が正則な自己同型として（単位元以外は恒等写像にならないように）作用しているとき、軌道全体の集合 $Y = X / H$ もコンパクトリーマン面になり、商写像 $π : X \to Y$ は次数 $∣ H ∣$ の正則写像になります。この技能では、各元の固定点を数えて各点の固定部分群 $H_{p} = {h \in H : h (p) = p}$ の位数を求め、それが $π$ の分岐指数 $e_{p} = ∣ H_{p} ∣$ になることを使って、リーマン・フルヴィッツの公式から商 $X / H$ の種数を求めます。平面曲線の座標を入れ替えたり $1$ の冪根倍したりする対称性で割った曲線の種数を求める場面でよく使います。

なぜそうしてよいのか

$H_{p}$ は巡回群で、回転として働く。 $p$ のまわりの局所座標 $z$ （ $z (p) = 0$ ）を 1 つとります。 $h \in H_{p}$ は $p$ を動かさない双正則写像なので、座標で書くと $z \circ h = a_{h} z + (2 次以上の項)$ 、 $a_{h} = h^{'} (p) \neq = 0$ です。合成関数の微分より $(h_{1} h_{2})^{'} (p) = h_{1}^{'} (p) h_{2}^{'} (p)$ なので、 $ρ : H_{p} \to C^{*}$ , $h \mapsto h^{'} (p)$ は準同型です。 $ρ$ は単射です。実際、 $h^{'} (p) = 1$ かつ $h$ が $p$ の近くで恒等写像でないとすると $h (z) = z + c z^{r} + (高次)$ （ $c \neq = 0$ , $r \geq 2$ ）と書け、帰納法で $h^{j} (z) = z + j c z^{r} + (高次)$ となります。 $h$ の位数を $N$ とすると $h^{N} = id$ から $N c = 0$ となり矛盾。よって $h$ は $p$ の近くで恒等写像で、一致の定理（ $X$ は連結）により $X$ 全体で恒等写像、作用の仮定から $h = 1$ です。したがって $H_{p}$ は $C^{*}$ の位数 $k = ∣ H_{p} ∣$ の有限部分群と同型です。その元 $a$ はラグランジュの定理より $a^{k} = 1$ を満たすので $k$ 個の $1$ の $k$ 乗根に含まれ、個数が等しいので像はちょうど ${1, ζ, \dots, ζ^{k - 1}}$ （ $ζ = e^{2 π i / k}$ ）です。よって $H_{p}$ は $h^{'} (p) = ζ$ となる元 $h$ で生成される巡回群です。次に $H_{p}$ で不変な $p$ の小さな近傍 $U$ の上で、座標を平均してとり直します：
$z ~ = \frac{1}{k} j = 0 \sum k - 1 ζ^{- j} (z \circ h^{j}) .$
$z \circ h^{j}$ の $p$ での微分は $ζ^{j}$ なので $z ~$ の微分は $\frac{1}{k} \sum_{j} ζ^{- j} ζ^{j} = 1 \neq = 0$ で、 $z ~$ も局所座標です。また $h^{k} = id$ , $ζ^{k} = 1$ より添字を $k$ を法としてずらせるので
$z ~ \circ h = \frac{1}{k} j = 0 \sum k - 1 ζ^{- j} (z \circ h^{j + 1}) = ζ \cdot \frac{1}{k} j = 0 \sum k - 1 ζ^{- (j + 1)} (z \circ h^{j + 1}) = ζ z ~ .$
つまり座標 $z ~$ では生成元 $h$ は回転 $z ~ \mapsto ζ z ~$ です。なお、 $h \neq = 1$ の固定点は上の議論から孤立していて、 $X$ はコンパクトなので $Fix (h)$ は有限集合です。

商の局所座標と分岐指数。 $p$ の近くの正則関数 $φ = \sum_{n \geq 0} c_{n} z ~^{n}$ が $H_{p}$ 不変なら $φ (ζ z ~) = \sum c_{n} ζ^{n} z ~^{n} = φ (z ~)$ から $ζ^{n} \neq = 1$ すなわち $k ∤ n$ の係数は $0$ で、 $φ$ は $w = z ~^{k}$ のべき級数になります。 $U$ を十分小さくとり $h \in / H_{p}$ では $h (U) \cap U = \emptyset$ としておくと、 $π (U) = U / H_{p}$ であり、 $z ~^{k} = z ~^{' k} ⟺ z ~^{'} = ζ^{j} z ~$ なので $w = z ~^{k}$ は $U / H_{p}$ から円板への全単射です。 $Y$ の複素構造はこの $w$ を $π (p)$ の局所座標として定めるもので（ $Y$ 上の正則関数は $X$ 上の $H$ 不変な正則関数、という上の計算と整合する）、この座標で $π$ は $z ~ \mapsto z ~^{k}$ と書けます。よって $e_{p} = k = ∣ H_{p} ∣$ です。

次数と公式。 $H_{q} = {1}$ の点 $q$ の軌道は $∣ H ∣$ 個の点からなるので $π$ の次数は $∣ H ∣$ 。一般の $p$ では $h (p)$ は剰余類 $h H_{p}$ で決まるので軌道は $∣ H ∣/∣ H_{p} ∣$ 点で、各点 $h (p)$ の固定部分群は $h H_{p} h^{- 1}$ （位数は同じ）なので、 $π (p)$ の上には分岐指数 $∣ H_{p} ∣$ の点が $∣ H ∣/∣ H_{p} ∣$ 個あり、合計 $∣ H ∣$ で次数に合います。リーマン・フルヴィッツの公式に入れると
$2 g_{X} - 2 = ∣ H ∣ (2 g_{Y} - 2) + p \in X \sum (∣ H_{p} ∣ - 1)$
で、 $∣ H_{p} ∣ - 1$ は「 $p$ を固定する単位元以外の元の個数」なので、和の順序を入れ替えて $\sum_{p} (∣ H_{p} ∣ - 1) = \sum_{h \neq = 1} ∣ Fix (h) ∣$ （ $Fix (h)$ は $h$ の固定点の集合）とも書けます。

手順

$X$ の種数 $g_{X}$ と $∣ H ∣$ を確認する（平面曲線なら種数公式で $g_{X}$ を求める）。 $H$ の各元が $X$ の自己同型であり、単位元以外は恒等写像でないことを確かめる
単位元以外の各元 $h$ の固定点 $Fix (h)$ を求める（射影平面の線形変換 $[v] \mapsto [A v]$ なら、固定点は $A$ の固有ベクトルの定める点のうち曲線上にあるもの）
各固定点 $p$ について固定部分群 $H_{p}$ を集め、分岐指数 $e_{p} = ∣ H_{p} ∣$ とする。 $\sum_{p} (e_{p} - 1) = \sum_{h \neq = 1} ∣ Fix (h) ∣$ を計算する
リーマン・フルヴィッツの公式 $2 g_{X} - 2 = ∣ H ∣ (2 g_{Y} - 2) + \sum_{p} (e_{p} - 1)$ を $g_{Y}$ について解く
検算として、 $Y$ の分岐点の上の点の個数が $∣ H ∣/∣ H_{p} ∣$ になっているか、 $g_{Y}$ が $0$ 以上の整数になるかを確かめる

例題

射影平面のフェルマー 4 次曲線 $X : x^{4} + y^{4} + z^{4} = 0$ に、 $σ ([x : y : z]) = [i x : - y : z]$ （ $i$ は虚数単位）で生成される位数 $4$ の巡回群 $H = ⟨ σ ⟩$ が作用している。商リーマン面 $X / H$ の種数を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $X$ は非特異な 4 次曲線なので $g_{X} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ 。 $(i x)^{4} + (- y)^{4} + z^{4} = x^{4} + y^{4} + z^{4}$ なので $σ$ は $X$ の自己同型で、 $σ = diag (i, - 1, 1)$ , $σ^{2} = diag (- 1, 1, 1)$ , $σ^{3} = diag (- i, - 1, 1)$ はどれもスカラー行列でないので恒等写像ではなく、 $∣ H ∣ = 4$ 。

【手順 2】対角行列の固定点は固有空間の点である。
- $σ$ , $σ^{3}$ ：固有値 $\pm i, - 1, 1$ が相異なるので、固定点の候補は $[1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0], [0 : 0 : 1]$ だけだが、どれも $x^{4} + y^{4} + z^{4} \neq = 0$ で $X$ 上にない。固定点 $0$ 個。
- $σ^{2}$ ：固有値 $1$ の固有空間は $x = 0$ の直線。 $X$ との交点は $y^{4} + z^{4} = 0$ を満たす $4$ 点 $[0 : y : z]$ 。固有値 $- 1$ の点 $[1 : 0 : 0]$ は $X$ 上にない。固定点 $4$ 個。

【手順 3】この $4$ 点の固定部分群は ${1, σ^{2}}$ で、 $e_{p} = 2$ 。ほかの点は $e_{p} = 1$ 。よって $\sum_{p} (e_{p} - 1) = \sum_{h \neq = 1} ∣ Fix (h) ∣ = 0 + 4 + 0 = 4$ 。

【手順 4】 $2 \cdot 3 - 2 = 4 (2 g_{Y} - 2) + 4$ より $4 (2 g_{Y} - 2) = 0$ 、 $g_{Y} = 1$ 。

【手順 5】検算： $σ$ は $[0 : y : z]$ を $[0 : - y : z]$ に移し、 $y \neq = 0$ なので別の点になる。 $4$ 点は $2$ 点ずつ $2$ つの軌道をなし、 $∣ H ∣/∣ H_{p} ∣ = 4/2 = 2$ と合う。 $g_{Y} = 1$ は非負整数で矛盾はない。

したがって $X / H$ の種数は $1$ 。

答え: $1$

よくある誤り

生成元 $σ$ の固定点だけを数え、 $σ^{2}$ などほかの元の固定点を見落とす誤り。例題で $σ$ だけを見ると固定点なしで $4 = 4 (2 g_{Y} - 2)$ から $g_{Y} = \frac{3}{2}$ となり矛盾する。正しくは単位元以外のすべての元 $h$ について $∣ Fix (h) ∣$ を足す
固定点 $p$ の分岐指数を、固定部分群の位数 $∣ H_{p} ∣$ ではなく群の位数 $∣ H ∣$ としてしまう誤り。正しくは $e_{p} = ∣ H_{p} ∣$ で、例題では $e_{p} = 2$ 。 $e_{p} = 4$ とすると $\sum (e_{p} - 1) = 12$ になり $4 = 4 (2 g_{Y} - 2) + 12$ から $g_{Y} = 0$ と誤る
分岐の寄与を $Y$ の分岐点ごとに $e - 1$ を 1 回だけ足してしまう誤り。公式の和は $X$ の点についての和なので、 $Y$ の 1 点の上にある $∣ H ∣/∣ H_{p} ∣$ 個の点それぞれの $∣ H_{p} ∣ - 1$ を足す。例題では $Y$ の分岐点は $2$ 個で、寄与は $2 \cdot 1$ ではなく $4 \cdot 1 = 4$
射影変換 $[v] \mapsto [A v]$ の固定点を $A v = v$ の解だけとしてしまう誤り。射影空間では $A v = λ v$ （ $λ \neq = 0$ は任意）なので、すべての固有値の固有空間を調べる。例えば $diag (- 1, 1, 1)$ では $x = 0$ の直線に加えて点 $[1 : 0 : 0]$ も固定点の候補になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$X$ を種数 $6$ のコンパクトリーマン面とし、 $σ$ を $X$ の位数 $4$ の正則自己同型とする。 $σ$ の固定点はちょうど $2$ 個であり、 $σ^{2}$ の固定点はちょうど $6$ 個である（ $σ$ の固定点も $σ^{2}$ の固定点に含めて数える）。 $H = ⟨ σ ⟩$ （位数 $4$ の巡回群）とし、商写像 $π : X \to X / H$ を考える。商リーマン面 $X / H$ の種数 $h$ を求めよ。

有限群による商リーマン面の種数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題