複素解析・リーマン面の問題

方針. 商写像 $\pi :X\to X/H$ は次数 $|H|=4$ の正則写像で、点 $p\in X$ での分岐指数 $e_p$ は固定部分群 $H_p=\{\tau \in H\mid \tau (p)=p\}$ の位数に等しい。これをリーマン・フルヴィッツの公式に入れる。

1. 固定部分群の位数を決める. $H=\{1,\sigma ,{\sigma }^2,{\sigma }^3\}$ の部分群は $\{1\}$, $⟨{\sigma }^2⟩$（位数 $2$）, $H$（位数 $4$）の $3$ つである。
- $|H_p|=4$ となるのは $\sigma (p)=p$ となる点（このとき ${\sigma }^3(p)=p$ も成り立つ）。そのような点は $2$ 個。
- $|H_p|=2$ となるのは、${\sigma }^2(p)=p$ だが $\sigma (p)\ne p$ となる点。${\sigma }^2$ の固定点 $6$ 個から $\sigma$ の固定点 $2$ 個を除いて $4$ 個。
- それ以外の点では $H_p=\{1\}$ で、分岐しない。

（${\sigma }^3$ の固定点は $\sigma$ の固定点と一致するので、新しい点は出てこない。）

2. 分岐の総和.
$$\sum _{p\in X}(e_p-1)=2\cdot (4-1)+4\cdot (2-1)=6+4=10.$$

3. リーマン・フルヴィッツの公式.
$$2g_X-2=|H|(2h-2)+\sum _{p\in X}(e_p-1)$$
に $g_X=6$, $|H|=4$ を代入すると
$$10=4(2h-2)+10.$$
よって $2h-2=0$、すなわち $h=1$ である。

（確認: $|H_p|=2$ の $4$ 点は大きさ $2$ の軌道 $2$ つに分かれ、$X/H$ 上の分岐値は $|H_p|=4$ の $2$ 点の像と合わせて $4$ 点になる。）

$H=⟨\sigma ⟩\cong \mathbb{Z}/4$ の作用について、点の安定化群で分類する。

• 安定化群が $H$ 全体の点: $\sigma$ の固定点で 2 個。各点が 1 つの軌道なので軌道は 2 個。分岐指数 $e=4$、各点の寄与は $e-1=3$、合計 $2\times 3=6$。
• 安定化群がちょうど $⟨{\sigma }^2⟩$ (位数 2) の点: ${\sigma }^2$ の固定点 6 個のうち $\sigma$ の固定点 2 個を除いた 4 個。$\sigma$ はこれらを 2 点ずつ入れ替えるので軌道は 2 個。分岐指数 $e=2$、各点の寄与は $e-1=1$、合計 $4\times 1=4$。
• 他の点は自由軌道。

リーマン・フルヴィッツの公式（次数 4）:
$$2g-2=4(2h-2)+\sum (e_P-1)$$
$g=6$ より $10=4(2h-2)+6+4=4(2h-2)+10$、よって $2h-2=0$、$h=1$。

検算: 軌道の数による計算。$\chi (X)=-10$。$\chi (X)=4\chi (X/H)-{\sum }_{\text{分岐点}}(4-\#\text{fiber})=4(2-2h)-(3+3+2+2)$。$h=1$ なら $0-10=-10$ で一致。